Kezdőlap


Feladat:	1142. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bánó L. , Csada I. , Fodor H. , Földes R. , Graf V. , Haar A. , Jánosy Gyula , Merse P. , Pető L. , Pözel T. , Székely J. , Szilas O. , Sztrokay K.
Füzet:	1903/december, 88 - 89. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai jellegű feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/február: 1142. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megjegyzések. Ha valamely gömbalakú és egyenletes sűrűségű égi test tömege $M$ , akkor ez minden rajta kívül, $R$ távolságban fekvő, egységnyi tömeget

\begin{matrix} f \cdot \frac{M}{R^{2}} erővel vonzza, \end{matrix}

a hol

f

a gravitationális állandót jelenti. De másrészt az egységnyi tömegre ható erő mindig egyenlő a létesített gyorsulással,

a

-val, tehát

\begin{matrix} a = f \cdot \frac{M}{R^{2}}; \end{matrix}

Ez az egyenlet szolgál az égi testek mérlegelésének alapjául. Ebből az egyenletből az is világos, hogy csak az olyan égi testek tömegét lehet meghatározni, amelyek által a világtér valamely pontjában létesített gyorsulás ismeretes. Ilyenek mindenekelőtt azok az égi testek, melyek körül más égi testek keringenek, mert akkor e keringő égi testeknek a középponti test felé nyilvánuló gyorsulása:

a = \frac{4 π^{2} R}{T^{2}}

, a hol

R

a pálya sugara és

T

a keringési idő.
A Föld tömegvonzása által létesített gyorsulás két helyen: a Föld felületén és a Hold távolságban ismeretes, tehát a Föld tömege mindkét adatból kiszámítható. Hasonló módon a Nap által létesített gyorsulás igen sok helyen, nevezetesen az összes bolygók távolságában ismeretes, tehát a tömegszámítás igen sok adat alapján lehetséges. Jupiternek

5

holdja van, tehát a főbolygó által létesített gyorsulás értéke

5

helyen ismeretes, mindegyikből Jupiter tömege kiszámítható. Ellenben a mi holdunk körül más égi test nem kering és így az általa létesített gyorsulásnak értékét a világűr semmiféle helyén sem ismerjük, tömegét ez úton nem számíthatjuk ki. Azonban ismeretes, hogy a Hold a Föld vizeit az apály-dagály jelenségben mintegy maga felé emeli. Ebből a Hold által létesített gyorsulás értékére (komplikált számítással) következtetni lehet. Csakis ez úton sikerült a Hold tömegét meghatározni. Ugyan ez az eset például Venus bolygóval, melynek nincs holdja; az általa létesített gyorsulásra csak is azokból a zavargásokból (perturbatiók) lehetett következtetni, melyeket a Föld pályájára kifejt.

1.

A Föld tömege

M = \frac{g R^{2}}{f}

, a hol

g

a szabad esés gyorsulása,

R

a Föld sugara

\begin{matrix} M = 6 \cdot 10^{27} gr = 6 quatrillio kg. \end{matrix}

2.

A Nap tömege

M' = \frac{a \cdot ρ^{2}}{f}

, a hol

a

a Föld gyorsulása a Nap felé,

ρ

a földpálya sugara. Azonban tudjuk, hogy

\begin{matrix} a = \frac{4 π^{2} ρ}{T^{2}}, \end{matrix}

a hol

T

a Föld keringési ideje

\begin{matrix} M' = \frac{4 π^{2} ρ^{3}}{f \cdot T^{2}} = 1,98 \times 10^{33} gr \end{matrix}

\begin{matrix} M' = közelítőleg 2 quintillio kg. \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{M'}{M} = 332 000. \end{matrix}

3.

A Nap középsűrűsége

σ = \frac{M'}{V} = 1, 4.

4.

A nehézségi erő gyorsulása a Nap felületén

a = f \frac{M'}{R^{2}}

, a hol

R

a Nap sugara;

\begin{matrix} a = 27 056 \frac{cm}{{sec}^{2}}; \end{matrix}

körülbelül

28

-szor akkora, mint a Föld felületén.

((Jánosy Gyula, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Bánó L., Csada I., Fodor A., Földes R., Graf V., Haar A., Merse P., Pető L., Pözel T., Székely J., Szilas O., Sztrokay K.