Kezdőlap


Feladat:	1132. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Rosenthal Miksa
Füzet:	1904/március, 145. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sorozat határértéke, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Számsorok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/február: 1132. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A C C_{1} C_{2} C_{3} ... C_{n}$ tört vonal hossza

\begin{matrix} S = A C + C C_{1} + C_{1} C_{2} + C_{2} C_{3} + ... + C_{n - 1} C_{n} = \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{a}{\sqrt[]{2}} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2 \sqrt[]{2}} + \frac{a}{4} + ... + \frac{a}{{(\sqrt[]{2})}^{n + 1}} = \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{a}{\sqrt[]{2}} [1 + \frac{1}{\sqrt[]{2}} + \frac{1}{{(\sqrt[]{2})}^{2}} + \frac{1}{{(\sqrt[]{2})}^{3}} + ... + \frac{1}{{(\sqrt[]{2})}^{n}}] = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{a}{\sqrt[]{2}} \frac{1 - \frac{1}{{(\sqrt[]{2})}^{n + 1}}}{1 - \frac{1}{\sqrt[]{2}}} \end{matrix}

A háromszögek területeinek összege

\begin{matrix} T = A B C Δ + B C C_{1} Δ + B C_{1} C_{2} Δ + B C_{2} C_{3} Δ + ... + B C_{n - 1} C_{n} Δ = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{a^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{8} + \frac{a^{2}}{16} + \frac{a^{2}}{32} + ... + \frac{a^{2}}{2^{n + 2}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{a^{2}}{4} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + + \frac{1}{2^{3}} + ... + \frac{1}{2^{n}}) = \frac{a^{2}}{4} \frac{2^{n + 1} - 1}{2^{n}} = a^{2} \frac{2^{n + 1} - 1}{2^{n + 2}} . \end{matrix}

n

végtelenné lesz, akkor

\begin{matrix} S = a (\sqrt[]{2} + 1) \end{matrix}

és

\begin{matrix} T = a^{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2^{n + 2}}) = \frac{a^{2}}{2} . \end{matrix}

(Rosenthal Miksa, Pécs.)

Megoldások száma: 38.