Kezdőlap


Feladat:	1129. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Sárközy Pál
Füzet:	1904/január, 112. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometria, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/február: 1129. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Föltételi egyenletünk így is írható:

\begin{matrix} a^{3} + b^{3} - c^{3} = c^{2} (a + b) - c^{3}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} c^{2} = a^{2} + b^{2} - a b . \end{matrix}

De Carnot tétele szerint

\begin{matrix} c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos γ, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} cos γ = \frac{1}{2}, γ = 60^{\circ} . \end{matrix}

Ennélfogva

\begin{matrix} cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β = cos α cos β - \frac{3}{4} = cos 120^{\circ} = - \frac{1}{2}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} cos α cos β = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} α - β = 0, α = β = 60^{\circ} . \end{matrix}

(Sárközy Pál, Pannonhalma.)

Megoldások száma: 28.