Kezdőlap


Feladat:	1128. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bartók Imre , Haar Alfréd
Füzet:	1904/október, 43 - 44. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Maradékos osztás, Oszthatóság, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/február: 1128. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen

\begin{matrix} x^{2} - 3 x y + 2 y^{2} + x - y = 13 p \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} x^{2} - 2 x y + y^{2} - 5 x + 7 y = 13 p' \end{matrix}

(2)

(1)

így is írható:

\begin{matrix} (x - y) (x - 2 y + 1) = 13 p . \end{matrix}

E kifejezés akkor osztható

13

-mal, ha vagy

(x - y)

, vagy

(x - 2 y + 1)

osztható

13

-mal. Lássuk e két esetet külön-külön.

1^{\circ}

Legyen

\begin{matrix} x - y = 13 q \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} x = 13 q + y . \end{matrix}

x

-nek eme értékét

(2)

-be téve:

\begin{matrix} x^{2} - 2 x y + y^{2} - 5 x + 7 y = {(x - y)}^{2} - 5 x + 7 y = 13 p', \end{matrix}

vagy, minthogy

(x - y)

osztható

13

-mal:

\begin{matrix} 7 y - 5 x = 13 q' \end{matrix}

s így

\begin{matrix} 7 y - 5 (13 q + y) = 13 q' \end{matrix}

miből

\begin{matrix} y = 13 q'' \end{matrix}

és így

\begin{matrix} x = 13 q + 13 q'' . \end{matrix}

Minthogy

x

és

y

osztható

13

-mal, ennélfogva a harmadik kifejezés minden tagja, s így ez egész kifejezés is osztható

13

-mal.

2^{\circ}

Legyen

\begin{matrix} x - 2 y + 1 = 13 r, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} x = 13 r + 2 y - 1. \end{matrix}

(3)

x

-nek eme értékét

(2)

-be téve, ered 3

\begin{matrix} y^{2} = 5 y - 6 + 13 r' \end{matrix}

(4)

(1)

-et

(2)

-ből kivonva:

\begin{matrix} x y - y^{2} - 6 x + 8 y = 13 r'' . \end{matrix}

(5)

Végre szorozzuk meg a

(3)

kifejezés minden tagját

6

-tal, akkor ered:

\begin{matrix} 12 y - 6 + 13 r''' = 6 x . \end{matrix}

(6)

Ha a

(4), (5)

és

(6)

egyenlőséget összeadjuk, akkor lesz:

\begin{matrix} x y - 12 x + 15 y = 13 s \end{matrix}

s így látjuk, hogy a harmadik kifejezés ismét osztható

13

-mal.

(Haar Alfréd, Budapest.)