Kezdőlap


Feladat:	1121. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csada I. , Haar Alfréd , Heimlich P. , Rosenberg J. , Ruvald S.
Füzet:	1903/december, 81. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték differenciálszámítással, Alakzatok mértéke, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Parabola, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/január: 1121. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az adott kúp alapkörének sugara $r$ , oldalvonala $l$ . Ismeretes, hogy a $B A C$ parabola területe

\begin{matrix} t = \frac{4}{3} B D \cdot A D . \end{matrix}

\begin{matrix} M D = x, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} x : 2 r = A D : l, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} A D = \frac{l x}{2 r}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} t = \frac{4}{3} \frac{l x}{2 r} \sqrt[]{x (2 r - x)}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} t^{2} = \frac{4 l^{2} x^{2}}{9 r^{2}} x (2 r - x) = \frac{4 l^{2}}{27 r^{2}} x \cdot x \cdot x (6 r - 3 x) . \end{matrix}

Minthogy a tényezők összege állandó szám, azért

t^{2}

s vele együtt

t

is akkor veszi fel maximális értékét, ha

\begin{matrix} x = 6 r - 3 x, \end{matrix}

vagyis ha

\begin{matrix} x = \frac{3}{4} r, \end{matrix}

miért is

\begin{matrix} t_{m a x .} = \frac{l r}{2} \sqrt[]{3} . \end{matrix}

(Haar Alfréd, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Csada I., Heimlich P., Rosenberg J., Ruvald S.