Kezdőlap


Feladat:	1119. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádámffy E. , Blum J. , Csada I. , Dömény I. , Epstein K. , Földes R. , Heimlich P. , Jánosy Gy. , Merse P. , Miklóssy K. , Morvai O. , Rosenberg J. , Ruvald S. , Sárközy P. , Schöffler I. , Székely J. , Tandlich Emil , Tóth J.
Füzet:	1904/január, 111. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/január: 1119. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $c$ az átfogó, $a$ és $b$ a két befogó, $m$ az átfogóhoz tartozó magasság, s végre $p$ és $q$ az átfogó két metszete. Ekkor

\begin{matrix} a^{2} - b^{2} = p^{2} + m^{2} - (q^{2} + m^{2}) = p^{2} - q^{2} = 4 m^{2} . \end{matrix}

\begin{matrix} m^{2} = p q és q = c - p, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} p^{2} - {(c - p)}^{2} = 4 p (c - p), \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 4 p^{2} - 2 c p - c^{2} = 0, \end{matrix}

miből

p = \frac{c}{4} (1 + \sqrt[]{5}) = c sin 54^{\circ}

.
Ennélfogva

p

olyan derékszögű háromszög egyik befogója, melynek átfogója

c

és a szemben fekvő szög

54^{\circ}

(Tandlich Emil, Körmöczbánya.)

A feladatot még megoldották: Ádámffy E., Blum J., Csada I., Dömény I., Epstein K., Földes R., Heimlich P., Jánosy Gy., Merse P., Miklóssy K., Morvai O., Rosenberg J., Ruvald S., Sárközy P., Schöffer I., Székely J., Tóth J.