Kezdőlap


Feladat:	1111. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Blum J. , Brámer A. , Csada I. , Dömény I. , Fekete M. , Fodor H. , Földes R. , Haar A. , Harsányi Z. , Heimlich P. , Jánosy Gy. , Kirchknopf E. , Kiss J. , Krampera Gyula , Messer P. , Rosenberg J. , Ruvald S. , Sonnenberg J.
Füzet:	1903/április, 218 - 219. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1903/január: 1111. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Ismeretes, hogy

\begin{matrix} a = - (x_{1} + x_{2} + x_{3}), \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} b = x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1}, \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} c = - x_{1} x_{2} x_{3} . \end{matrix}

(3)

(1)-ből

\begin{matrix} x_{2} = - (x_{1} + x_{3}) - a = - 2 x_{2} - a, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} x_{2} = - \frac{a}{3} . \end{matrix}

(4)

(2)-ből

\begin{matrix} x_{2} (x_{1} + x_{3}) + x_{3} x_{1} = b, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} - \frac{a}{3} \cdot - \frac{2 a}{3} + \frac{3 c}{a} = b, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 2 a^{3} + 27 c - 9 a b = 0. \end{matrix}

(5)

Az egyenlet gyökei:

\begin{matrix} x_{1} = - \frac{a}{3} + \sqrt[]{\frac{1}{3} a^{2} - b}, x_{2} = - \frac{a}{3}, x_{3} = - \frac{a}{3} - \sqrt[]{\frac{1}{3} a^{2} - b} . \end{matrix}

2^{\circ} .

(3)-ból

x_{2}^{3} = - c

, s így

x_{2} = - \sqrt[3]{c}

.
(1)-ből és (2)-ből

\begin{matrix} x_{1} + x_{3} = - a - x_{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} x_{2} (x_{1} + x_{3}) + x_{3} x_{1} = b, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} - x_{2} (a + x_{2}) + x_{2}^{2} = b, \end{matrix}

\begin{matrix} - a x_{2} = b, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} a^{3} c = b^{3} . \end{matrix}

(6)

Az egyenlet gyökei:

\begin{matrix} x_{1} = \frac{1}{2 a} (b - a^{2} + \sqrt[]{{(b - a^{2})}^{2} - 4 b^{2})}, x_{2} = - \frac{b}{a}, \end{matrix}

\begin{matrix} x_{3} = \frac{1}{2 a} (b - a^{2} - \sqrt[]{{(b - a^{2})}^{2} - 4 b^{2})} . \end{matrix}

3^{\circ}

\begin{matrix} a = - (x_{2} + \frac{2 x_{1} x_{3}}{x_{2}}), \end{matrix}

\begin{matrix} b = x_{2} \cdot \frac{2 x_{1} x_{3}}{x_{2}} + x_{3} x_{1} = 3 x_{1} x_{3}, \end{matrix}

\begin{matrix} c = - \frac{b x_{2}}{3} . \end{matrix}

Eme egyenletekből

\begin{matrix} a = - \frac{3 c}{b} - \frac{2 b^{2}}{9 c}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 9 a b c - 27 c^{2} - 2 b^{3} = 0. \end{matrix}

(7)

Az egyenlet gyökei:

\begin{matrix} x_{1} = \frac{3 c - a b}{2 b} + \sqrt[]{{(\frac{3 c - a b}{2 b})}^{2} - \frac{b}{3}}, x_{2} = - \frac{3 c}{b}, \end{matrix}

\begin{matrix} x_{1} = \frac{3 c - a b}{2 b} - \sqrt[]{{(\frac{3 c - a b}{2 b})}^{2} - \frac{b}{3}} . \end{matrix}

(Krampera, Gyula, Debreczen.)

A feladatot még megoldották: Blum J., Brámer A., Csada I., Dömény I., Fekete M., Fodor H., Földes R., Haar A., Harsányi Z., Heimlich P., Jánosy Gy., Kirchknopf E., Kiss J., Messer P., Rosenberg J., Ruvald S., Sonnenberg J.