Kezdőlap


Feladat:	1110. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ádámffy E. , Csada I. , Dömény I. , Epstein K. , Fodor H. , Fuchs I. , Földes R. , Jánosy Gy. , Krampera Gy. , Kürti I. , Merse P. , Rássy P. , Rosenberg J. , Schwarz Gy. , Schwarz O. , Sztrokay K.
Füzet:	1903/június, 247 - 250. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai jellegű feladatok, Feladat, Hajítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/december: 1110. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat természetének megfelelő pontossággal végezve a számításokat:

\begin{matrix} a = \frac{v^{2}}{2 s} = 59,380 \frac{m}{{sec}^{2}} y = v \cdot t \cdot sin α - \frac{g}{2} t^{2} = 229,9 m \end{matrix}

\begin{matrix} t = \frac{v}{a} = 0,0075 sec x = v \cdot t \cdot cos α = 1749,0 m \end{matrix}

\begin{matrix} p = m \cdot a = 387 \cdot 18^{8} din y_{m a x} = \frac{v^{2} sin^{2} α}{2 g} = 303, 0 m \end{matrix}

= 39,500 kg súly

\begin{matrix} E = p \cdot s = \frac{1}{2} m v^{2} = 642 \cdot 10^{10} erg x_{m a x} = \frac{v^{2} sin^{2} α}{2 g} = 6872, 9 m \end{matrix}

\begin{matrix} α = 7^{\circ} 12, 3' \end{matrix}

\begin{matrix} H = \frac{p \cdot s}{t} = 116, 500 lóerő V = \frac{m \cdot v}{M} = 2, 6 \frac{m}{sec} . \end{matrix}

A feladat eme első részét megoldották: Ádámffy E., Csada I, Dömény I., Epstein K., Fodor H., Földes R., Fuchs I., Jánosy Gy., Krampera Gy., Kürti I., Merse P., Rássy P., Rosenberg J., Schwarz O., Schwarz Gy., Sztrokay K.

A feladat utolsó kérdését kissé részletesebben kell kidolgoznunk. Míg a golyó kiér, az alatt a lovasság is elhagyja helyét, ezért bizonyos

φ

szöggel, mely a vízszintes síkban fekszik, a lovasság ''elé'' kell czélozni. Hasonlóképen meg kell határozni azt a függőleges síkbeli

α

szöget, mely a lovasság távolságában a hajítási parabolának megfelel.
Ha az elsütés pillanatában az ágyú

A

pontban, a lovasság pedig

B

pontban van és ha a lovasság azon

t

idő alatt míg a golyó kiér, éppen

C

pontba jut, akkor éppen ebbe a

C

pontba kell kezdettől fogva irányozni.

C A B ∢

a meghatározandó szög.
A feladat szerint

B C

merőleges

A B

-re, a keletkezett háromszög derékszögű háromszög, melynek

\begin{matrix} \begin{matrix} befogói & A B = a = 2000 m \\ B C = u \cdot t \\ átfogója & v \cdot t \cdot cos α \end{matrix} \end{matrix}

(1)

a hol

u

a lovasság,

v

pedig a golyó sebessége.

\begin{matrix} tg φ = \frac{u \cdot t}{a} vagy sin φ = \frac{u}{v \cdot cos α} \end{matrix}

(1')

Az itt szereplő két ismeretlen

a

és

t

nem függetlenek egymástól, mert a hajítás törvényei szerint

\begin{matrix} t = \frac{2 v}{g} sin α . \end{matrix}

(2)

Pythagoras tétele szerint

\begin{matrix} A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}, \end{matrix}

és ez tekintetbe véve

(1)

-et

\begin{matrix} {(v \cdot t \cdot cos α)}^{2} = a^{2} + u^{2} t^{2} . \end{matrix}

(3)

(2)

és

(3)

két egyenlet két ismeretlennel. Kiküszöbölés után:

\begin{matrix} g^{2} t^{4} + 4 (u^{2} - v^{2}) t^{2} + 4 a^{2} = 0 \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 4 v^{4} sin^{4} α + 4 v^{2} (u^{2} - v^{2}) sin^{2} α + a^{2} g^{2} = 0 \end{matrix}

negyedfokú egyenletek. Másodfokúra redukálva és megoldva

\begin{matrix} t = \pm \frac{\sqrt[]{2}}{g} \sqrt[]{v^{2} - u^{2} \pm \sqrt[]{{(v^{2} - u^{2})}^{2} - a^{2} g^{2}}} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} sin α = \pm \frac{\sqrt[]{2}}{2 v} \sqrt[]{v^{2} - u^{2} \pm \sqrt[]{{(v^{2} - u^{2})}^{2} - a^{2} g^{2}}} . \end{matrix}

Felhasználva az

(1')

-et, a

φ

-t is kiszámíthatjuk. A feladatnak tehát négy megoldása van, ezekből két megoldás csak előjelben különbözik a másik kettőtől.

\begin{matrix} \begin{matrix} t & α & φ \\ 4,52 sec & 2^{\circ} 51,5' & 1^{\circ} 12, 5 \\ 90,39'' & 86^{\circ} 55,0' & 24^{\circ} 58, 0' \end{matrix} \end{matrix}

A mozgó lovasságot tehát eltaláljuk

1.

ha az ágyút úgy irányítjuk be, hogy a vízszintessel

2^{\circ} 51, 5'

-et alkosson és a függőleges iránysík

1^{\circ} 12, 5'

-czel a lovasság elé vezessen; ez esetben a lapos parabolát használjuk fel,

2

-szor ha az ágyú a vízszintessel

86^{\circ} 55, 0'

-el zár be, a mikor is a parabola nagyon meredek, a golyó

20

-szor annyi ideig van a levegőben mint előbb, s ennélfogva ugyanannyiszor nagyobb utat fut be a lovasság s azért kell az iránysíkot oly óriás szöggel

(24^{\circ} 58')

a lovasság elé vezetni. Ez a két eset a lovasság közeledésekor is bekövetkezhetik. Ily módon mind a négy megoldást értelmezhetjük.

A feladat eme részét helyesen oldotta meg: Jánosy Gy.; csak részben helyesen: Csada, Epstein, Földes, Krampera, Rosenberg, Schwarz O., Schwarz Gy.