Kezdőlap


Feladat:	1102. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csada Imre , Dömény I. , Fodor H. , Fuchs I. , Haar A. , Kiss J. , Rassy P. , Rosenberg J. , Schwarz Gy. , Székely J.
Füzet:	1904/március, 144. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték differenciálszámítással, Ellipszis egyenlete, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/december: 1102. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a téglalap egyik csúcsának coordinátái $ξ$ és $η$ , akkor a másik három csúcs coordinátái ( $ξ, - η), (- ξ, η), (- ξ, - η),$ és

\begin{matrix} t = 4 ξ η . \end{matrix}

(1)

Minthogy

(ξ, η)

az ellipszis pontja, azért

\begin{matrix} b^{2} ξ^{2} + a^{2} η^{2} = a^{2} b^{2} \end{matrix}

(2)

(1)

-ből és

(2)

-ből

\begin{matrix} ξ = \pm \sqrt[]{\frac{a^{2}}{2} \pm \frac{a}{4 b} \sqrt[]{4 a^{2} b^{2} - t^{2}}} \end{matrix}

és

\begin{matrix} η = \pm \sqrt[]{\frac{b^{2}}{2} \pm \frac{b}{4 a} \sqrt[]{4 a^{2} b^{2} - t^{2}}} . \end{matrix}

(1)

így is írható

\begin{matrix} t = 4 ξ \frac{b}{a} \sqrt[]{a^{2} - ξ^{2}} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} t^{2} = 16 \frac{b^{2}}{a^{2}} ξ^{2} (a^{2} - ξ^{2}) . \end{matrix}

Minthogy a tényezők összege állandó, azért

t^{2}

s vele együtt

t

is akkor lesz maximum, ha

\begin{matrix} ξ^{2} = a^{2} - ξ^{2}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} ξ = \pm \frac{a}{2} \sqrt[]{2} és η = \pm \frac{b}{2} \sqrt[]{2} . \end{matrix}

(Csada Imre, Pápa.)

A feladatot még megoldották: Dömény I., Fodor H., Fuchs I., Haar A., Kiss J., Rassy P. , Rosenberg J., Schwarz Gy., Székely J.