Kezdőlap


Feladat:	1101. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádámffy E. , Blum J. , Dömény I. , Epstein K. , Erdős V. , Fekete M. , Fodor H. , Földes R. , Glasel G. , Glück J. , Haar A. , Heimlich P. , Jánosy Gyula , Krampera Gy. , Kürti I. , Merse P. , Pető L. , Rássy P. , Rosenberg J. , Schwarz Gy. , Sümegi Gy. , Székely J. , Tandlich E.
Füzet:	1903/június, 254. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszög területe, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/december: 1101. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy $O E F ∢ = 90^{\circ} - \frac{A ∢}{2} és O F E ∢ = 90^{\circ} - \frac{β ∢}{2}$ , azért a kérdéses terület

\begin{matrix} t = \frac{{\bar{E F}}^{2} cos \frac{A}{2} cos \frac{B}{2}}{2 sin \frac{A + B}{2}} = \frac{{\bar{E F}}^{2} cos \frac{A}{2} cos \frac{B}{2}}{2 cos \frac{C}{2}} . \end{matrix}

B C_{1} F

és

A C_{1} E

derékszögű háromszögekből

\begin{matrix} F C_{1} = B C_{1} tg \frac{B}{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} E C_{1} = A C_{1} tg \frac{A}{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} E F = F C_{1} - E C_{1} = B C_{1} tg \frac{B}{2} - A C_{1} tg \frac{A}{2} . \end{matrix}

\begin{matrix} B C_{1} = m \end{matrix}

s így

\begin{matrix} E F = m (ctg B \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} t = \frac{m^{2}}{8} ({tg}^{2} \frac{A}{2} - {tg}^{2} \frac{B}{2}) \frac{cos \frac{A}{2} cos \frac{B}{2}}{cos \frac{C}{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{m^{2}}{8} ({tg}^{2} \frac{A}{2} - {tg}^{2} \frac{B}{2}) (tg \frac{A}{2} - tg \frac{B}{2}), \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} t = \frac{m^{2}}{8} \cdot \frac{sin \frac{A + B}{2} sin^{2} \frac{A - B}{2}}{cos^{3} \frac{A}{2} cos^{3} \frac{B}{2}} \end{matrix}

(Jánosy Gyula, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Ádámffy E., Blum J., Dömény I., Epstein K., Erdős V., Fekete M., Fodor H., Földes R., Glasel G., Glück J., Haar A., Heimlich P., Krampera Gy., Kürti I.; Merse P., Pető L., Rássy P., Rosenberg J., Schwarz Gy., Székely J., Sümegi Gy., Tandlich E.