Kezdőlap


Feladat:	1100. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dömény Imre , Fodor H. , Fuchs I. , Földes R. , Heimlich P. , Jánosy Gy. , Krampera Gy. , Rosenberg J. , Ruvald S. , Székely J. , Tandlich E.
Füzet:	1903/december, 79 - 81. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térfogat, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/december: 1100. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje $K (A B D)$ az $A B D$ háromszögnek az $O_{1} O_{2}$ tengely körül való forgásából keletkező test köbtartalmát, ugyanígy $K (A E_{1} E_{2} B)$ az $A E_{1} E_{2} B$ forgásából keletkező test köbtartalmát s. í. t.

\begin{matrix} K (A B D) = K (A E_{1} E_{2} B) - K (E_{1} A D) - K (E_{2} B D) \end{matrix}

és

\begin{matrix} K ({A D B}_{}^{⌢ ⌢}) = K (A E_{1} E_{2} B) - K (E_{1} {A D}_{}^{⌢}) - K (E_{2} {B D}_{}^{⌢}) . \end{matrix}

\begin{matrix} O_{1} E_{1} = R cos α, O_{2} R_{2} = r cos α, A E_{1} = R sin α, és B E_{2} = r sin α . \end{matrix}

\begin{matrix} cos α = \frac{R - r}{R + r} és sin α = \frac{2 \sqrt[]{R r}}{R + r} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} E_{1} E_{2} = R + r - O_{1} E_{1} + O_{2} E_{2} = R + r - R \frac{R - r}{R + r} + r \frac{R - r}{R + r} = \frac{4 R r}{R + r}, \end{matrix}

\begin{matrix} A E_{1} = \frac{2 R}{R + r} \sqrt[]{R r} és B E_{2} = \frac{2 R}{R + r} \sqrt[]{R r} . \end{matrix}

\begin{matrix} K (A E_{1} E_{2} B) = \frac{E_{1} E_{2} π}{3} [A E_{1}^{2} + A E_{1} \cdot B E_{2} + B E_{2}^{2}] = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{16 π}{3} \frac{R^{2} r^{2}}{{(R + r)}^{3}} (R^{2} + R r + r^{2}), \end{matrix}

\begin{matrix} K (E_{1} A D) = \frac{A E_{1}^{2} \cdot E_{1} D}{3} π = \frac{A E_{1}^{2} (R - O_{1} E_{1})}{3} π = \frac{8}{3} π \frac{R^{4} r^{2}}{{(R + r)}^{3}}, \end{matrix}

\begin{matrix} K (E_{2} B D) = \frac{B E_{2}^{2} \cdot E_{2} D}{3} π = \frac{B E_{2}^{2} (r + O_{2} E_{2})}{3} π = \frac{8}{3} π \frac{R^{2} r^{4}}{{(R + r)}^{3}}, \end{matrix}

\begin{matrix} K (E_{1} {A D}_{}^{⌢}) = \frac{E_{1} D^{2} \cdot π}{3} (3 R - E_{1} D) = \frac{π}{3} {(R - O_{1} E_{1})}^{2} (2 R + O_{1} E_{1}) = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{4}{3} π \frac{R^{3} r^{2}}{{(R + r)}^{3}} (3 R + r), \end{matrix}

és

\begin{matrix} K (E_{2} {B D}_{}^{⌢}) = \frac{E_{2} D^{2} \cdot π}{3} = (3 r - E_{2} D) = \frac{π}{3} {(r + O_{2} E_{2})}^{2} (2 r - O_{2} E_{2}) = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{4}{3} π \frac{R^{2} r^{3}}{{(R + r)}^{3}} (R + 3 r) . \end{matrix}

Ennélfogva

\begin{matrix} K (A B D) = \frac{16 π}{3} \frac{R^{2} r^{2}}{{(R + r)}^{3}} (R^{2} + R r + r^{2}) - \frac{8}{3} π \frac{R^{4} r^{2}}{{(R + r)}^{3}} - \end{matrix}

\begin{matrix} - \frac{8}{3} π \frac{R^{2} r^{4}}{{(R + r)}^{3}} = \frac{8}{3} π \frac{R^{2} r^{2}}{R + r} \end{matrix}

és

\begin{matrix} K ({A D B}_{}^{⌢ ⌢}) = \frac{16 π}{3} \frac{R^{2} r^{2}}{{(R + r)}^{3}} (R^{2} + R r + r^{2}) - \frac{4 π}{3} \frac{R^{3} r^{2}}{{(R + r)}^{3}} (3 R + r) - \end{matrix}

\begin{matrix} - \frac{4 π}{3} \frac{R^{2} r^{3}}{{(R + r)}^{2}} (R + 3 r) = \frac{4}{3} π \frac{R^{2} r^{2}}{(R + r)}, \end{matrix}

tehát a két forgási test köbtartalmának viszonya

\begin{matrix} K (A B D) : K ({A D B}_{}^{⌢ ⌢}) = \frac{8}{3} π \frac{R^{2} r^{2}}{(R + r)} : \frac{4}{3} π \frac{R^{2} r^{2}}{(R + r)} = 2 : 1. \end{matrix}

(Dömény Imre, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Fodor H., Földes R., Fuchs I., Heimlich P., Jánosy Gy., Krampera Gy., Rosenberg J., Ruwald S., Székely J., Tandlich E.