Feladat:	1097. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fekete Mihály
Füzet:	1903/április, 228. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/december: 1097. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle 4\text{cos}{}^2{18}^{\circ }-1=\frac{4\text{cos}{}^2{18}^{\circ }-1}{4\text{sin}{}^2{18}^{\circ }}\cdot 4\text{sin}{}^2{18}^{\circ }=}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle =\frac{4\text{sin}{}^2{36}^{\circ }-4\text{sin}{}^2{18}^{\circ }}{4\text{sin}{}^2{18}^{\circ }}=\frac{4\left(\text{sin}{36}^{\circ }+\text{sin}{18}^{\circ }\right)\left(\text{sin}{36}^{\circ }-\text{sin}{18}^{\circ }\right)}{4\text{sin}{}^2{18}^{\circ }}=}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle =\frac{16\cdot \text{sin}{27}^{\circ }\text{cos}{9}^{\circ }\text{cos}{27}^{\circ }\text{sin}{9}^{\circ }}{4\text{sin}{}^2{18}^{\circ }}=\frac{4\text{sin}{54}^{\circ }\text{sin}{18}^{\circ }}{4\text{sin}{}^2{18}^{\circ }}=}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle =\frac{4\text{sin}{18}^{\circ }\text{cos}{36}^{\circ }}{4\text{sin}{}^2{18}^{\circ }}\mathrm{,}}\end{array}$ (1) de $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}{18}^{\circ }=\text{sin}{72}^{\circ }=2\text{sin}{36}^{\circ }\text{cos}{36}^{\circ }=4\text{sin}{18}^{\circ }\text{cos}{18}^{\circ }\text{cos}{36}^{\circ }\mathrm{,}}\end{array}$ miből $\begin{array}{c}{\displaystyle 1=4\text{sin}{18}^{\circ }\text{cos}{36}^{\circ }\mathrm{,}}\end{array}$ mit $\left(1\right)$-be téve ered $\begin{array}{c}{\displaystyle 4\text{cos}{18}^{\circ }-1=\frac{1}{4\text{sin}{}^2{18}^{\circ }}\mathrm{.}}\end{array}$ (Fekete Mihály, Zenta.)   Megoldások száma: 34.