Kezdőlap


Feladat:	1095. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Erdős Vilmos , Paunz Arthur
Füzet:	1903/február, 167 - 168. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/december: 1095. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A megadott egyenlet így is írható:

\begin{matrix} {[{(x - 2)}^{2} + {(x - 1)}^{2}]}^{2} - 2 {(x - 2)}^{2} {(x - 1)}^{2} = \frac{17}{4} {(x - 2)}^{2} {(x - 1)}^{2}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} {[{(x - 2)}^{2} + {(x - 1)}^{2}]}^{2} = \frac{25}{4} {(x - 2)}^{2} {(x - 1)}^{2} . \end{matrix}

Mindkét oldalból négyzetgyököket vonva:

\begin{matrix} {(x - 2)}^{2} + {(x - 1)}^{2} = \pm \frac{5}{2} (x - 2) (x - 1), \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x^{2} - 3 x = 0 és 9 x^{2} - 27 x + 20 = 0, \end{matrix}

mely egyenletek gyökei:

\begin{matrix} x_{1} = 0, x_{2} = 3, x_{3} = \frac{5}{3}, x_{4} = \frac{4}{3} . \end{matrix}

(Erdős Vilmos, Budapest.)

II. megoldás. Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát

{(x - 2)}^{2} {(x - 1)}^{2}

szorzattal, akkor ered:

\begin{matrix} {(\frac{x - 2}{x - 1})}^{2} + {(\frac{x - 1}{x - 2})}^{2} = \frac{17}{4} . \end{matrix}

miből, ha

\begin{matrix} (\frac{x - 2}{x - 1}) = y \end{matrix}

lesz:

\begin{matrix} 4 y^{4} - 17 y^{2} + 4 = 0, \end{matrix}

mely egyenletnek gyökei:

2, - 2, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}

\frac{x - 2}{x - 1}

törtet eme értékek mindegyikével egyenlővé téve, ismét ered:

\begin{matrix} x_{1} = 0, x_{2} = 3, x_{3} = \frac{5}{3}, x_{4} = \frac{4}{3} . \end{matrix}

(Paunz Arthur, Pécs.)

Megoldások száma: 44.