Kezdőlap


Feladat:	1094. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádámffy E. , Bánó L. , Blum J. , Csada I. , Dévai I. , Dömény I. , Epstein K. , Erdős O. , Fekete M. , Fodor H. , Fuchs I. , Földes R. , Glasel G. , Glück J. , Haar A. , Harsányi Z. , Heimlich P. , Horti V. , Jánosy Gy. , Kiss József , Krampera Gy. , Kräuter F. , Kürti I. , Messer P. , Miklóssy K. , Morvai O. , Neumann L. , Paunz A. , Rássy P. , Rosenberg J. , Rosenthal M. , Ruvald S. , Schwarz Gy. , Schwarz O. , Sonnenfeld J. , Steiner D. , Strobl J. , Tandlich E. , Végváry I.
Füzet:	1903/február, 166 - 167. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/december: 1094. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az

\begin{matrix} a_{1}, a_{2}, a_{3}, ... a_{n}, a_{n + 1} \end{matrix}

mértani sor hányadosa

q

, akkor

\begin{matrix} a_{1}^{2} - a_{2}^{2} = a_{1}^{2} (1 - q^{2}), \end{matrix}

\begin{matrix} a_{2}^{2} - a_{3}^{2} = a_{1}^{2} (1 - q^{2}) q^{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} a_{3}^{2} - a_{4}^{2} = a_{1}^{2} (1 - q^{2}) q^{4}, \end{matrix}

\begin{matrix} ... \end{matrix}

\begin{matrix} a_{n}^{2} - a_{n + 1}^{2} = {(a_{1} q^{n - 1})}^{2} - {(a_{1} q^{n})}^{2} = a_{1}^{2} (1 - q^{2}) q^{2 (n - 1)} . \end{matrix}

Ennélfogva

\begin{matrix} \frac{1}{a_{1}^{2} - a_{2}^{2}} = \frac{1}{a_{1}^{2} (1 - q^{2})}, \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{1}{a_{2}^{2} - a_{3}^{2}} = \frac{1}{a_{1}^{2} (1 - q^{2})} \cdot \frac{1}{q^{2}}, \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{1}{a_{3}^{2} - a_{4}^{2}} = \frac{1}{a_{1}^{2} (1 - q^{2})} \cdot \frac{1}{q^{4}}, \end{matrix}

\begin{matrix} ... \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{1}{a_{n}^{2} - a_{n + 1}^{2}} = \frac{1}{a_{1}^{2} (1 - q^{2})} \cdot \frac{1}{q^{2 (n - 1)}}; \end{matrix}

látjuk, hogy a kérdéses sor oly mértani haladvány, melynek első tagja

\frac{1}{a_{1}^{2} (1 - q^{2})}

hányadosa pedig

\frac{1}{q^{2}}

. E haladvány összege:

\begin{matrix} S = \frac{1}{a_{1}^{2} (1 - q^{2})} \cdot \frac{{(\frac{1}{q^{2}})}^{n} - 1}{\frac{1}{q^{2}} - 1} = \frac{a_{1}^{2 n} - a_{2}^{2 n}}{a_{2}^{2 (n - 1)} {(a_{1}^{2} - a_{2}^{2})}^{2}} . \end{matrix}

(Kiss József, Pápa.)

A feladatot még megoldották. Ádámffy E., Bánó L., Blum J., Csada I., Dévai I., Dömény I., Epstein K., Erdős O., Fekete M., Fodor H., Földes R., Fuchs I., Glasel G., Glück J., Haar A., Harsányi Z., Heimlich P., Horti V., Jánosy Gy., Krampera Gy., Kräuter F., Kürti I., Messer P., Miklóssy K., Morvai O., Neumann L., Paunz A., Rássy P., Rosenberg J., Rosenthal M., Ruvald S., Schwarz Gy., Schwarz O., Sonnenfeld J., Steiner D., Strobl J., Tandlich E., Végváry I.