Kezdőlap


Feladat:	1093. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csada I. , Dömény I. , Fodor H. , Fuchs I. , Haar A. , Jánosy Gy. , Kiss J. , Kräuter F. , Kürti I. , Messer P. , Pichler S. , Rássy P. , Rosenberg J. , Schwarz Gy. , Sonnenfeld József
Füzet:	1903/február, 165 - 166. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összefüggések binomiális együtthatókra, Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/december: 1093. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy

\begin{matrix} \frac{(m + n)!}{n!} = (\binom{m + n}{n}) \cdot m! \end{matrix}

azért a megadott sor így is írható:

\begin{matrix} m!, (\binom{m + 1}{1}) \cdot m!, (\binom{m + 2}{2}) \cdot m!, ..., (\binom{m + n}{n}) \cdot m!, (\binom{m + n + 1}{n + 1}) \cdot m!, ... \end{matrix}

E haladvány első külömbségi sora:

\begin{matrix} m! [(\binom{m + 1}{1}) - (\binom{m}{0})], m! [(\binom{m + 2}{2}) - (\binom{m + 1}{1})] ..., m! [(\binom{m + n + 1}{n}) - (\binom{m + n}{n})], ... \end{matrix}

vagy, ha tekintetbe vesszük, hogy

\begin{matrix} (\binom{r}{s}) = (\binom{r - 1}{s}) + (\binom{r - 1}{s - 1}), \end{matrix}

akkor e külömbségi sor:

\begin{matrix} m! (\binom{m}{1}), m! (\binom{m + 1}{2}), m! (\binom{m + 2}{3}), ... m! (\binom{m + n}{n + 1}), ... \end{matrix}

Hasonlóképpen a második külömbségi sor:

\begin{matrix} m!, (\binom{m}{2}), m!, (\binom{m + 1}{3}), ... m!, (\binom{m + n - 1}{n + 1}), ... \end{matrix}

Eme eljárást folytatva, lesz az

(m - 1)

-edik külömbségi sor:

\begin{matrix} m!, (\binom{m}{m - 1}), m! (\binom{m + 1}{m}), ..., m! (\binom{m + n - (m - 2)}{n + 1}), ... \end{matrix}

mely sor még így is írható:

\begin{matrix} m \cdot m!, (m + 1) \cdot m!, (m + 2) \cdot m!, ... (n + 2) \cdot m! \end{matrix}

E sor pedig csakugyan olyan közönséges számtani haladvány, melynek külömbsége

m!

(Sonnenfeld József, Budapest.)

A feladatot még megoldották. Csada I., Dömény I., Fodor H., Fuchs I., Haar A., Jánossy Gy., Kiss J., Kräuter F., Kürti I., Messer P., Pichler S., Rássy P., Rosenberg J., Schwarz Gy.