Kezdőlap


Feladat:	1088. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bartók I. , Dömény I. , Fuchs I. , Haar Alfréd , Kürti I. , Liebner A. , Pichler S. , Rosenberg J. , Schwarz Gy.
Füzet:	1903/november, 50 - 51. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Parabola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/november: 1088. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Segédtétel. Ha hasonló háromszögek egyik $(P)$ csúcsa fix, a második $(Q)$ csúcs pedig oly körön mozog, mely átmegy a $P$ -n, akkor a harmadik csúcs $(R)$ mértani helye szintén kör, mely átmegy a $P$ ponton.
Bizonyítás. $Q R$ messe a kört $S$ -ben; akkor a $P S$ húr állandó, mert a $P Q R$ szög nagysága nem változik, tehát az $S$ pont is fix. De akkor tételünk máris világos, mert állandó $(P S)$ húr fölött állandó $P R S$ kerületi szög mozog, tehát $R$ a $P S R$ körön mozog.
E segédtétellel tételeink egyszerre bebizonyíthatók.
$1^{\circ}$ . és $2^{\circ}$ . Az $A C D$ háromszögben a $C ∢$ és $D ∢$ állandó nagyságúak, mert mindig egyazon $A B$ húron nyugszanak, tehát $C A D ∢$ is állandó és az $A C D$ háromszög mindig hasonló marad önmagához, bármilyen helyzetű legyen is a $C B D$ szelő.

Hasonlók maradnak tehát önmagukhoz az

A C O, A C O_{1}, A C O_{2}, A C O_{3}

és

A C G

háromszögek is s így segédtételünk értelmében az

O, O_{1}, O_{2}, O_{3}

és

G

pontok mértani helyei oly körök, melyek átmennek az

A

ponton is.

3^{\circ}

. Hasonló háromszögek között legnagyobb területe annak van, a melyikben a megfelelő szöggel szemközt fekvő oldal a legnagyobb. A mi esetünkben az

A C D

háromszög területe akkor legnagyobb, ha

C D

a legnagyobb, a mi pedig akkor következik be, ha

C D

párhuzamos a két adott kör centrálisával. (K. M. L. V. 37.)

4^{\circ}

. Minthogy

\begin{matrix} C_{1} P D_{1} ∢ = C D D_{1} ∢ - D C P ∢ = (180^{\circ} - D_{1} A B ∢) - C_{1} A B ∢ = \end{matrix}

\begin{matrix} = 180^{\circ} - (C_{1} A B ∢ + D_{1} A B ∢) = 180^{\circ} - C_{1} A D_{1} ∢ = const., \end{matrix}

azért a

P

pont mértani helye a

C_{1} A D_{1}

háromszög köré írható kör.

(Haar Alfréd, Budapest.)

A föladatot még megoldották: Bartók I., Liebner A. m. e. hallgatók, Dömény I., Fuchs J., Kürti I., Pichler S., Rosenberg J., Schwarz Gy.