Feladat: 1084. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csada I. ,  Dömény I. ,  Epstein K. ,  Földes R. ,  Haar A. ,  Jánosy Gyula ,  Messer P. ,  Rosenberg J. ,  Schwarz O. ,  Schöffer I. ,  Sonnenfeld J. 
Füzet: 1903/február, 163 - 164. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Függvények ábrázolása, Trigonometrikus függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1902/november: 1084. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A függvény értéke változatlan marad, ha x2π egész számú többszöröseivel változik, tehát a görbe 2π nagyságú közökben egybevágó. Minthogy továbbá (π2-x) és (π2+x) mellett a függvény egyenlő értékeket vesz fel, azért a görbe a π2 pontban az abscissa tengelyre húzott merőlegesre nézve symmetrikus fekvésű. Ezek után határozzuk meg a görbének nehány pontját. Lássuk, mely pontokban metszi a görbe az abscissa tengelyt. Ekkor y=0, tehát
2sinx+cos2x=0
vagy
2sin2x-2sinx-1=0
miből
x1=1,1...π
x2=1,9...π
A függvény akkor veszi fel minimális értékét, ha x=3π2; ekkor y=-3. Maximális értékű a függvény, ha x1=π6,x2=5π6, ekkor y=1,5. Ha x=0, akkor y=1.
A függvény alakját rajzunk mutatja.
 
 

Jegyzet. Függvényünk még így is megszerkeszthető: Megrajzoljuk külön a 2sinx-nek és a cos2x-nek megfelelő görbéket. Az egyes ordináták algebrai összege megadja a keresett görbe egyes pontjainak ordinátáit.
 

(Jánosy Gyula, Budapest.)
 

A feladatot megoldották: Csada I., Dömény I., Epstein K., Földes R., Haar A., Messer P. , Rosenberg J., Schöffer I., Schwarz O., Sonnenfeld J.