Kezdőlap


Feladat:	1083. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádámffy E. , Dömény I. , Fekete M. , Fuchs I. , Haar A. , Harsányi Z. , Heimlich P. , Jánosy Gy. , Krampera Gy. , Kürti I. , Messer Pál , Paunz A. , Pichler S. , Rosenberg J. , Sárközy P. , Schuster Gy. , Schwarz Gy. , Schwarz O. , Tandlich E. , Wáhl V. , Werner M.
Füzet:	1903/április, 227 - 228. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ellipszis egyenlete, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Alakzatok hasonlósága, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/november: 1083. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a feladatot megoldottnak. Hosszabbítsuk meg $F_{1} F$ -et $F$ -en túl $B$ -ig úgy, hogy $F M = F B$ legyen. Ha $M F_{1} F ∢ = a$ , akkor $M B F ∢ = a$ , mert $M F F_{1} ∢ = F M B ∢ + F B M ∢ = 2 F B M ∢ = 2 a .$
$M F_{1} F$ és $M F_{1} B$ háromszögekből:

\begin{matrix} M F : M F_{1} = sin α : sin 2 α \end{matrix}

és

\begin{matrix} M F_{1} : F_{1} B = sin α : sin 2 α, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} M F : M F_{1} = M F_{1} : 2 c + M F, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} M F_{1}^{2} = M F^{2} + 2 c M F . \end{matrix}

\begin{matrix} {\bar{M F_{1}}}^{2} = {(2 a - M F)}^{2} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} {(2 a - M F)}^{2} = M F^{2} + 2 c M F, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} M F = \frac{2 a^{2}}{2 a + c} és M F_{1} = 2 a \frac{a + c}{2 a + c} . \end{matrix}

M F

és

M F_{1}

értékét az első aránylatba helyettesítjük, akkor nyerjük, hogy

\begin{matrix} cos α = \frac{a + c}{2 a} . \end{matrix}

Ennélfogva a szerkesztés a következő:

A A_{1}

nagy tengelyre

A

végpontjában merőlegest emelünk és

F_{1}

-ből

2 a

sugárral kört rajzolunk. E kör az

A

-ban emelt merőlegest

C

-ben és

C_{1}

-ben metszi.

C F_{1}

-nek és

C_{1} F_{1}

-nek az ellipsissel való metszéspontja adja a keresett pontot.

(Messer Pál, Budapest, V. ker.)

A feladatot még megoldották: Ádámffy E., Dömény I., Fekete M., Fuchs I., Haar A., Harsányi Z., Heimlich P., Jánosy Gy., Krampera Gy., Kürti L., Paunz A., Pichler S., Rosenberg J., Sárközy P., Schuster Gy., Schwarz Gy., Schwarz O., Tandlich E., Wáhl V., Werner M.