Kezdőlap


Feladat:	1082. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ádámffy E. , az V. kerületi főgymn. mathematikai köre , Csada Imre , Dömény I. , Fekete M. , Fodor H. , Fuchs I. , Földes R. , Haar A. , Heimlich P. , Hermann M. , Jánosy Gy. , Kiss J. , Krampera Gy. , Kürti I. , Láng O. , Messer P. , Pám M. , Rosenberg J. , Ruvald S. , Schuster Gy. , Schwarz Gy. , Schöffer I. , Sonnenfeld J.
Füzet:	1903/április, 226 - 227. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kúpok, Térfogat, Térgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/november: 1082. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $A O$ és $B_{1} C_{1}$ metszéspontját $D$ -vel. AZ ${A B_{1} C_{1}}_{}^{⌢}$ idomnak $A O$ körül való forgásából keletkezett test $K_{1}$ köbtartalma egyenlő az $A B_{1} O C_{1}$ forgásából keletkező kettős kúp és az $O B_{1} C_{1}$ körczikk forgásából keletkező test köbtartalmának különbségével.
Ennélfogva

\begin{matrix} K_{1} = B_{1} D^{2} π \frac{A O}{3} - 2 r^{2} π \frac{r - O D}{3} . \end{matrix}

\begin{matrix} B_{1} D = r cos \frac{A}{2}, A O = \frac{r}{sin \frac{A}{2}} és O D = r sin \frac{A}{2} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} K_{1} = \frac{r^{3} π}{3} \frac{cos^{2} \frac{A}{2}}{sin \frac{A}{2}} - \frac{2 r^{3} π}{3} (1 - sin \frac{A}{2}) = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{r^{3} π}{3 sin \frac{A}{2}} [cos^{2} \frac{A}{2} - 2 sin \frac{A}{2} (1 - sin \frac{A}{2})] = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{r^{3} π}{3 sin \frac{A}{2}} [1 - 2 sin \frac{A}{2} + sin^{2} \frac{A}{2}] = \frac{r^{3} π}{3} \frac{{(1 - sin \frac{A}{2})}^{2}}{sin \frac{A}{2}} . \end{matrix}

K_{2}

{B C_{1} A_{1}}_{}^{⌢}

idomnak

B O

körül és

K_{3}

{C A_{1} B_{1}}_{}^{⌢}

idomnak

C O

körül való forgásából keletkezett test köbtartalmát jelenti, akkor hasonlóképp

\begin{matrix} K_{2} = \frac{r^{3} π}{3} \frac{{(1 - sin \frac{B}{2})}^{2}}{sin \frac{B}{2}} és K_{3} = \frac{r^{3} π}{3} \frac{{(1 - sin \frac{C}{2})}^{2}}{sin \frac{C}{2}}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} K_{1} : K_{2} : K_{3} = \frac{{(1 - sin \frac{A}{2})}^{2}}{sin \frac{A}{2}} : \frac{{(1 - sin \frac{B}{2})}^{2}}{sin \frac{B}{2}} : \frac{{(1 - sin \frac{C}{2})}^{2}}{sin \frac{C}{2}} . \end{matrix}

(Csada Imre, Pápa)

A feladatot még megoldották: Ádámffy E., Dömény I., Fekete M., Fodor H., Földes R., Fuchs I., Haar A., Heimlich P., Hermann M., Jánosy Gy., Kiss J., Krampera Gy., Kürti I., Láng O., Messer P., Pám M., Rosenberg J., Ruvald S., Schöffer I., Schuster Gy., Schwarz Gy., Sonnenfeld J., az V. ker. mathamatikai kör.