Feladat: 1079. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  az V. ker. főgymn. mathematikai köre ,  Bánó L. ,  Csada Imre ,  Dömény I. ,  Erdős V. ,  Fekete M. ,  Fodor H. ,  Fuchs I. ,  Földes P. ,  Haar A. ,  Heimlich P. ,  Jánosy Gy. ,  Kiss J. ,  Krampera Gy. ,  Messer P. ,  Pám M. ,  Paunz A. ,  Rosenberg J. ,  Ruvald S. ,  Sárközy P. ,  Schuster Gy. ,  Schwarz Gy. 
Füzet: 1903/január, 139 - 140. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatóság, Prímszámok, Négyzetszámok összege, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1902/november: 1079. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A p egymásra következő egész szám négyzetének összege:

S=(a+1)2+(a+2)2+...+(a+p)2=
=pa2+2a(1+2+...+p)+12+22+...+p2=
=pa2+ap(1+p)+p(p+1)(2p+1)6.
Minthogy e kifejezés mindegyik tagja osztható p-vel, azért annak szükséges és elégséges feltétele, hogy Sp egész szám legyen, az, hogy (p+1)(2p+1)6 egész szám legyen. Keressük tehát p-nek ama alakját, mely mellett (p+1)(2p+1) osztható 6-tal, vagyis 2-vel és 3-mal.
Két eset lehetséges. Minthogy 2p+1 nem osztható 2-vel, azért a (p+1)(2p+1) szorzat akkor osztható hattal, ha
 

1∘.p+1=2més(2p+1)=3lalakú.
Ha az első egyenlet háromszorosát kivonjuk a második egycnlet kétszereséből, ered
p=6(l-m)+1=6u+1.

2∘. A (p+1)(2p+1) szorzat még akkor is osztható 6-tal, ha (p+1) osztható 6-tal, ha tehát
p+16=u,vagyp=6u-1alakú.
S tehát akkor osztható 6-tal, ha p=6u±1 alakú.
 

(Csada Imre, Pápa.)
 

A feladatot még megoldották: Bánó L., Dömény I., Erdős V., Fekete M., Fodor H., Földes R., Fuchs I., Haar A., Heimlich P., Jánosy Gy., Kiss J., Krampera Gy., Messer P., Pám M., Paunz A., Rosenberg J., Ruvald S., Sárközy P., Schuster Gy., Schwarz Gy., Matematikai kör, Bpest, V. ker. főgymn.