Kezdőlap


Feladat:	1075. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csada I. , Dömény I. , Haar A. , Kiss J. , Rosenberg J. , Sonnenfeld J.
Füzet:	1903/április, 224 - 225. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ellipszis egyenlete, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/október: 1075. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $(x_{1}, y_{1})$ az ellipsis pontja, akkor

\begin{matrix} b^{2} x_{1}^{2} + a^{2} y_{1}^{2} = a^{2} b^{2} \end{matrix}

és az

(x_{1}, y_{1})

ponthoz tartozó érintő egyenlete

\begin{matrix} b^{2} x_{1} x + a^{2} y_{1} y - a^{2} b^{2} = 0. \end{matrix}

Minthogy valamely

(ξ, η)

pontnak az

a x + b y + c = 0

egyenlet által kifejezett egyenestől való távolsága

\begin{matrix} m = \frac{a ξ + b η + c}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}}, \end{matrix}

azért a

(O, e)

és a

(0, - e)

pontoknak az

(x_{1}, y_{1})

ponthoz rajzolt érintőtől való távolsága

\begin{matrix} m_{1} = \frac{a^{2} y_{1} e - a^{2} b^{2}}{\sqrt[]{b^{4} x_{1}^{2} + a^{4} y_{1}^{2}}} és m_{2} = \frac{a^{2} y_{1} e + a^{2} b^{2}}{\sqrt[]{b^{4} x_{1}^{2} + a^{4} y_{1}^{2}}}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} m_{1}^{2} + m_{2}^{2} = \frac{a^{4} {(y_{1} e - b^{2})}^{2} + a^{4} {(y_{1} e + b^{2})}^{2}}{b^{4} x_{1}^{2} + a^{4} y_{1}^{2}} = 2 a^{2} \frac{a^{2} y_{1}^{2} e^{2} + a^{2} b^{4}}{b^{4} x_{1}^{2} + a^{4} y_{1}^{2}} . \end{matrix}

\begin{matrix} a^{2} y_{1}^{2} e^{2} + a^{2} b^{4} = a^{2} y_{1}^{2} (a^{2} - b^{2}) + a^{2} b^{4} = a^{4} y_{1}^{2} - b^{2} (a^{2} b^{2} - b^{2} x_{1}^{2}) + a^{2} b^{4} = a^{4} y_{1}^{2} + b^{4} x_{1}^{2}, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} m_{1}^{2} + m_{2}^{2} = 2 a^{2} . \end{matrix}

(Messer Pál, Budapest.)

Jegyzet. Ha a

(ξ, η)

pontnak az

a x + b y + c = 0

egyenlet meghatározta egyenes tetszőleges

(x, y)

pontjától való távolsága

r

, akkor

\begin{matrix} r^{2} = (ξ - x^{2}) + {(η - y)}^{2} = {(ξ - x)}^{2} + {(η + \frac{a x + c}{b})}^{2} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{1}{b^{2}} [x^{2} (a^{2} + b^{2}) - 2 x (b^{2} ξ - a b η - a c) + b^{2} ξ^{2} + {(b η + c)}^{2}] . \end{matrix}

A merőleges távolságot akkor nyerjük, ha

r

, s vele együtt

r^{2}

minimum,

r^{2}

minimum, ha

\begin{matrix} x = \frac{b^{2} ξ - a b η - a c}{a^{2} + b^{2}}, \end{matrix}

s ekkor

\begin{matrix} r^{2} = \frac{{(a ξ + b η + c)}^{2}}{a^{2} + b^{2}}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} r = \frac{a ξ + b η + c}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}} . \end{matrix}

A feladatot még megoldották: Csada I., Dömény I., Haar A., Kiss J., Rosenberg J., Sonnenfeld J.