Kezdőlap


Feladat:	1074. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dömény Imre , Földes R. , Haar A. , Kürti I. , Messer P. , Rosenberg J. , Sonnenfeld J.
Füzet:	1903/március, 203 - 204. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos sokszög alapú gúlák, Térgeometriai szerkesztések, Térgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/október: 1074. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szabályos ötoldalú gúla $A B C D E$ alapjának $A B$ oldalára megrajzoljuk az $A B F G$ négyzetét s az $F$ és $G$ pontokat összekötjük $A E$ és $B C$ metszéspontjával $H$ -val. $H F$ és $H G$ meghosszabbítása $D C$ -t és $D E$ -t $R_{3}$ -ban és $R_{4}$ -ben metszi. Ha az $R_{3}$ -ból és $R_{4}$ -ből $A G$ -vel rajzolt párhuzamosok $B C$ -t és $A E$ -t $R_{2}$ -ben és $R_{1}$ -ben metszik, akkor $R_{1} R_{2} R_{3} R_{4}$ a keresett négyzet. Ugyanis $R_{2} R_{3} ∥ R_{4} R_{1}$ és $R_{1} R_{2} ∥ R_{3} R_{4}$ , mert

\begin{matrix} H R_{2} : H B = H R_{3} : H F = H R_{4} : H G = H R_{1} : H A . \end{matrix}

Továbbá

\begin{matrix} R_{2} R_{3} : B F = R_{3} H : E H = R_{3} R_{4} : F G . \end{matrix}

B F = F G

, tehát egyszersmind

R_{2} R_{3} = R_{3} R_{4}

, s így

R_{1} R_{2} R_{3} R_{4}

valóban a feladatnak megfelelő négyzet.
Ha

R_{1} R_{2} = x

és

A B = a

, akkor a

D R_{3} R_{4}

háromszögből

\begin{matrix} D R_{3} = x \frac{sin 36^{\circ}}{sin 108^{\circ}} = 2 x sin 18^{\circ} \end{matrix}

és a

C R_{2} R_{3}

háromszögből

\begin{matrix} C R_{3} = x \frac{sin 18^{\circ}}{sin 108^{\circ}} = x \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} D R_{3} + C R_{3} = D C = a = x (2 sin 18^{\circ} + tg 18^{\circ}), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} x = \frac{a}{2 sin 18^{\circ} + tg 18^{\circ}} . \end{matrix}

Legyen

e

a szabályos ötoldalú gúla oldaléle,

S

pedig a csúcsa. Ekkor

S R_{1} = S R_{2}

és

S R_{3} = S R_{4}

. Az

R_{1} S E

háromszögből

\begin{matrix} S R_{1}^{2} = E R_{1}^{2} + e^{2} - 2 e \cdot E R_{1} cos S E R_{1} . \end{matrix}

\begin{matrix} E R_{1} = x \frac{sin 54^{\circ}}{sin 198^{\circ}} = x \frac{cos 36^{\circ}}{cos 18^{\circ}} = \frac{a cos 36^{\circ}}{sin 36^{\circ} + sin 18^{\circ}} és cos S E R_{1} = \frac{a}{2 e}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} S R_{1}^{2} = {(\frac{a cos 36^{\circ}}{sin 36^{\circ} + sin 18^{\circ}})}^{2} + e^{2} - \frac{a^{2} cos 36^{\circ}}{sin 36^{\circ} + sin 18^{\circ}} . \end{matrix}

D R_{3} R_{4}

háromszögből

\begin{matrix} S R_{3}^{2} = D R_{3}^{2} + e^{2} - 2 e \cdot D R_{3} cos S D R_{3} . \end{matrix}

\begin{matrix} D R_{3} = x \frac{sin 36^{\circ}}{sin 108^{\circ}} = x \frac{sin 36^{\circ}}{cos 18^{\circ}} = \frac{a sin 36^{\circ}}{sin 36^{\circ} + sin 18^{\circ}} és cos S D R_{3} = \frac{a}{2 e}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} S R_{3}^{2} = {(\frac{a sin 36^{\circ}}{sin 36^{\circ} + sin 18^{\circ}})}^{2} + e^{2} - \frac{a^{2} sin 36^{\circ}}{sin 36^{\circ} + sin 18^{\circ}} . \end{matrix}

(Dömény Imre, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Földes R., Haar A., Kürti I., Messer P., Rosenberg J., Sonnenfeld J.