Kezdőlap


Feladat:	1073. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádámffy Elek , Dömény I. , Erdős V. , Földes R. , Haar A. , Harsányi Z. , Heimlich P. , Jánosy Gy. , Kertész G. , Kräuter F. , Kürti I. , Messer P. , Pám M. , Rássy P. , Riesz Marcell , Rosenberg J. , Ruvald S. , Schuster Gy. , Schwarz Gy. , Sonnenfeld J.
Füzet:	1903/március, 202 - 203. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Szabályos sokszögek geometriája, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/október: 1073. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek a csillagidomnak a kör kerületén fekvő csúcsai $A_{1}, A_{2}, A_{3}, ... A_{12}$ . A keresett terület egyenlő $12$ egybevágó háromszög és $12$ egybevágó körszelet területének összegével. A körszeletek területeinek összegét $t_{1}$ -et megkapjuk, ha a kör kerületéből kivonjuk a szabályos tizenkétszög területét; tehát

\begin{matrix} t_{1} = r^{2} π - 3 r^{2} = r^{2} (π - 3) . \end{matrix}

(1)

Számítsuk most ki a háromszögek területeinek összegét,

t_{2}

-t. Legyen

A_{2} A_{9}

és

A_{1} A_{6}

húrok metszési pontja

C

. Akkor az

A_{1} A_{2} C

háromszög egyenlőoldalú, mert

A_{2} A_{1} C ∢ = A_{1} A_{2} C ∢ = 60^{\circ}

(az

A_{2} A_{6}

ívhez tartozó középponti szög ugyanis

120^{\circ}

). Ennélfogva az

A_{1} A_{2} C

háromszög területe

\begin{matrix} \frac{{\bar{A_{1} A_{2}}}^{2}}{4} \sqrt[]{3} = r^{2} sin^{2} 15^{\circ} \sqrt[]{3} = \frac{r^{2}}{2} (1 - cos 30^{\circ}) \sqrt[]{3} = \frac{r^{2}}{4} (2 \sqrt[]{3} - 3) . \end{matrix}

Így tehát a

12

háromszög területének összege:

\begin{matrix} t_{2} = 3 r^{2} (2 \sqrt[]{3} - 3) . \end{matrix}

(2)

Ennélfogva a keresett terület :

\begin{matrix} T = t_{1} + t_{2} = r^{2} (π - 3) + 3 r^{2} (2 \sqrt[]{3} - 3) = r^{2} (π + 6 \sqrt[]{3} - 12) = 1,53389 r^{2} . \end{matrix}

(Riesz Marcell, Győr.)

II. megoldás. A csillagidom területe egyenlő

24

egyenlőszárú háromszög területének összegével. Mindegyik háromszög alapja egyenlő

r

-rel, a kör sugarával; az alapon fekvő szögek mindegyike

15^{\circ}

, a magasság pedig

\frac{r}{2} tg 15^{\circ}

. Így tehát egy-egy háromszög területe

\begin{matrix} \frac{r^{2}}{4} tg 15^{\circ}, \end{matrix}

az egész csillagidom területe pedig

\begin{matrix} 6 r^{2} tg 15^{\circ} \end{matrix}

s így a keresett terület:

\begin{matrix} T = r^{2} π - 6 r^{2} tg 15^{\circ} = r^{2} (π - 6 tg 15^{\circ}), \end{matrix}

\begin{matrix} tg 15^{\circ} = 2 - \sqrt[]{3} \end{matrix}

s így ismét

\begin{matrix} T = r^{2} (π + 6 \sqrt[]{3} - 12) . \end{matrix}

(Ádámffy Elek, Eger.)

A feladatot még megoldották: Dömény I., Erdős V., Földes R., Haar A., Harsányi Z., Heimlich P., Jánosy Gy., Kertész G., Kräuter F., Kürti I., Messer P., Pám M., Rássy P., Rosenberg J., Ruvald S., Schuster Gy., Schwarz Gy., Sonnenfeld J.