Kezdőlap


Feladat:	1067. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádámffy E. , Bánó L. , Dömény I. , Friedländer H. , Fuchs I. , Földes R. , Haar A. , Harsányi Z. , Jánosy Gy. , Kürti I. , Láng O. , Messer P. , Pichler S. , Riesz Marcell , Rosenberg J. , Schöffer I.
Füzet:	1903/január, 138 - 139. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Törtfüggvények, Függvények ábrázolása, Függvényvizsgálat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/október: 1067. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A függvény által meghatározott görbe átmegy a coordináta rendszer kezdőpontján, mert ha akkor $x = 0$ , akkor $y = 0$ . A görbe mindinkább közeledik az abscissa tengelyhez, de azt ‐ kivéve a kezdőpontot ‐ nem metszi, mert

\begin{matrix} y = \frac{\frac{5}{x}}{3 + \frac{12}{x}} \end{matrix}

s így

y = 0

, ha

x = \pm \infty

, tehát az abscissa tengely a görbének asymptotája. Hogy a függvény eminens értékeit meghatározhassuk, fejezzük ki

x

-et

y

által. A nevezővel szorozva és a kifejezést rendezve, ered:

\begin{matrix} 3 y x^{2} - 5 x + 12 y = 0, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x = \frac{5 \pm \sqrt[]{25 - 144 y^{2}}}{6 y}; \end{matrix}

x

csak akkor lehet reális, ha

\begin{matrix} | y | ≦ \frac{5}{12}, \end{matrix}

vagyis

y

maximuma

\frac{5}{12}

minimuma pedig

- \frac{5}{12}

;

x

megfelelő értékei

+ 2

és

- 2

. Hogy a függvényt megrajzolhassuk, határozzuk meg

x

-nek és

y

-nak nehány egymáshoz tartozó értékét

\begin{matrix} x & \infty ... - 6, & - 5, & - 4, & - 3, & - 2, & - 1, & 0, & 1, & 2, & 3, & 4, & 5, & 6, & ... \infty \\ y & 0 - ... \frac{1}{4}, & - \frac{25}{87}, & - \frac{1}{3}, & - \frac{5}{13}, & - \frac{5}{12}, & - \frac{1}{3}, & 0, & \frac{1}{3}, & \frac{5}{12}, & \frac{5}{13}, & \frac{1}{3}, & \frac{25}{87}, & \frac{1}{4}, & ... 0. \end{matrix}

A függvény tehát ilyen alakú:

(Riesz Marcel, Győr.)

A feladatot még megoldották: Ádámffy E., Bánó L., Dömény I., Friedländer H., Földes R., Fuchs I., Haar A., Harsányi Z., Jánosy Gy., Kürti I., Láng O., Messer P., Pichler S., Rosenberg J., Schöffer I.