Kezdőlap


Feladat:	1066. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádámffy E. , az V. kerületi főgymn. mathematikai köre , Dömény J. , Fekete M. , Haar A. , Harsányi Z. , Kürti I. , Rássy P. , Tóth Balázs
Füzet:	1903/január, 137 - 138. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/október: 1066. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $x^{2} = a, y^{2} = b$ és $z^{2} = c$ , akkor egyenletrendszerünk így is írható:

\begin{matrix} (I) b - c = \frac{243}{a^{2}}, vagy (I I) a b - a c = \frac{243}{a}, \end{matrix}

\begin{matrix} c - a = - \frac{128}{b^{2}}, b c - a b = - \frac{128}{b}, \end{matrix}

\begin{matrix} a - b = \frac{5}{c^{2}}, a c - b c = \frac{5}{c} . \end{matrix}

(I)

-ből

\begin{matrix} \frac{243}{a^{2}} - \frac{128}{b^{2}} + \frac{5}{c^{2}} = 0. \end{matrix}

\begin{matrix} 243 b^{2} c^{2} - 128 a^{2} c^{2} + 5 a^{2} b^{2} = 0. \end{matrix}

(1)

(I I)

-ből

\begin{matrix} \frac{243}{a} - \frac{128}{b} + \frac{5}{c} = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} 243 b c - 128 a c + 5 a b = 0. \end{matrix}

(2)

(I)

-ből és

(I I)

-ből

\begin{matrix} a_{1} = 9 c; a_{2} = - \frac{201}{41} c \end{matrix}

\begin{matrix} b_{1} = 4 c; b_{2} = - \frac{12864}{4579} c . \end{matrix}

Helyettesítsük az

(I)

alatti egyenletrendszer harmadik egyenletébe

a_{1}, b_{1}

és

a_{2}, b_{2}

értékeit. Ekkor

e

-re nézve két harmadfokú egyenletet nyerünk. Ha

a_{1}

és

b_{1}

értékét helyettesítjük, akkor nyerjük, hogy

\begin{matrix} c^{3} = 1, \end{matrix}

miből

c

valós értéke

\begin{matrix} c = 1, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} z = \sqrt[]{c} = \pm 1, y = \sqrt[]{b} = \pm 2 \sqrt[]{c} = \pm 2 és x = \sqrt[]{a} = \pm 3. \end{matrix}

(Tóth Balázs, Eger.)

A feladatot még megoldották: Ádámffy E., Dömény J., Fekete M., Haar A., Harsányi Z., Kürti I., Rássy P., az V. ker. főgymn. mathematikai köre.