Kezdőlap


Feladat:	1065. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fekete Mihály
Füzet:	1902/december, 107 - 108. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Irracionális egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/október: 1065. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $\sqrt[]{3 x^{2} - 2} = a, \sqrt[]{x^{2} - 5} = b, \sqrt[]{4 x^{2} - 11} = c, \sqrt[]{2 x^{2} - 14} = d$ , akkor egyenletünk így írható:

\begin{matrix} \frac{a + b}{c + d} = \frac{a - b}{c - d} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} \frac{a + b}{a - b} = \frac{c + d}{c - d} . \end{matrix}

Eme egyenlet mindkét oldalához

\pm 1

-et- adva, ered:

\begin{matrix} \frac{a}{a - b} = \frac{c}{c - d} és \frac{b}{a - b} = \frac{d}{c - d}, \end{matrix}

mely egyenletekből következik, hogy

\begin{matrix} \frac{a}{c} = \frac{b}{d} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} a^{2} d^{2} = b^{2} c^{2} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} (3 x^{2} - 2) (2 x^{2} - 14) = (x^{2} - 5) (4 x^{2} - 11) \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 2 x^{2} - 15 x^{2} - 27 = 0, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x_{1} = 3, x_{2} = - 3, x_{3} = i \sqrt[]{\frac{3}{2}}, x_{4} = - i \sqrt[]{\frac{3}{2}} . \end{matrix}

((Fekete Mihály, Zenta.)

Megoldások száma: 48.