Feladat: 1064. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Krampera Gyula ,  Kürti Imre 
Füzet: 1902/december, 106 - 107. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatósági feladatok, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1902/október: 1064. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Minthogy 35a7-nek, 45a pedig 9-nek többszöröse, azért 35a+57 nem osztható 7-tel, 45a+76 pedig nem osztható 9-czel. A megadott kifejezések közös osztója tehát nem változik, ha az elsőt 9-czel, a másodikat pedig 7-tel szorozzuk meg. A két kifejezésnek közös osztója egyszersmind külömbségüknek is osztója, de a két kifejezés külömbsége
7(45+76)-9(35+57)=19
absolut törzsszám, amiből következik, hogy a megadott kifejezéseknek más közös osztójuk mint 19 nem lehet.
 

(Krampera Gyula, Debreczen.)
 

II. megoldás. Tegyük fel, hogy a két kifejezés közös osztója b, akkor
35a+57=bM
és
450+76=bN,
vagy
35a=bM-57
és
45a=bN-76,
e két egyenlet elosztásából
79=bM-57bN-76,
vagy
7bN-532=9bM-513,
miből
7N-9M=19b.

A baloldal egész szám, tehát a jobb oldalnak is egész számnak kell lennie, a mi csak akkor lehetséges, ha
b=19.

(Kürti Imre, Eger.)
 

Megoldások száma: 28.