Kezdőlap


Feladat:	1063. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Sonnenfeld József
Füzet:	1902/december, 106. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Legnagyobb közös osztó, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/október: 1063. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy

\begin{matrix} A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2}) \end{matrix}

és

\begin{matrix} A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B) \end{matrix}

azért a két megadott kifejezésnek

A - B

közös osztója; hogy ez egyúttal a legnagyobb közös osztó legyen, szükséges és elégséges, hogy az

A^{2} + A B + B^{2}

és

A + B

kifejezéseknek közös osztójuk ne legyen.
Tegyük fel, hogy

A + B

és

A^{2} + A B + B^{2}

kifejezéseknek van közös törzsosztójuk, akkor e közös törzsosztó egyúttal

{(A + B)}^{2}

-nek is osztója, továbbá osztója az

\begin{matrix} {(A + B)}^{2} - (A^{2} + A B + B^{2}) = A B \end{matrix}

külömbségnek is. Az

A + B

és

A B

kifejezések közös törzsosztója az

A B

szorzat egyik tényezőjének is osztója, pl.

A

-nak. De

A

-nak és

A + B

-nek közös osztója egyúttal

B

-nek is osztója, a mi a feltétellel ellenkezik s így

A^{2} + A B + B^{2}

és

A + B

kifejezéseknek közös osztójuk nem lehet.

(Sonnenfeld József, Budapest.)

Megoldások száma: 35.