Kezdőlap


Feladat:	1061. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádámffy E. , Dömény I. , Fekete M. , Haar A. , Jánosy Gy. , Krampera Gy. , Kürti I. , Messer P. , Pám M. , Rássy P. , Riesz Marcell , Rosenberg J. , Schwarz Gy. , Schöffer I. , Sonnenfeld J. , Stróbl J. , Söpkéz Gy.
Füzet:	1902/november, 75 - 76. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Determinánsok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/szeptember: 1061. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ Az első sor elemeit a második sor megfelelő elemeihez hozzáadva:

\begin{matrix} D = (a + b + c) | \begin{matrix} a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \\ b c & c a & a b \end{matrix} | = (a + b + c) | \begin{matrix} - b & b - c & c \\ 0 & 0 & 1 \\ - c (a - b) & - a (b - c) & a b \end{matrix} | = \end{matrix}

\begin{matrix} = - (a + b + c) (a - b) (b - c) (c - a) | \begin{matrix} 1 & 1 \\ - c & - a \end{matrix} | = - (a + b + c) (a - b) (b - c) (c - a) . \end{matrix}

2^{\circ}

\begin{matrix} D = \frac{1}{a b c} | \begin{matrix} a b c & a^{2} & a^{3} \\ a b c & b^{2} & b^{3} \\ a b c & c^{2} & c^{3} \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & a^{2} & a^{3} \\ 1 & b^{2} & b^{3} \\ 1 & c^{2} & c^{3} \end{matrix} | = \end{matrix}

\begin{matrix} = (a - b) (b - c) | \begin{matrix} 0 & a + b & a^{2} + a b + b^{2} \\ 0 & b + c & b^{2} + b c + c^{2} \\ 1 & c^{2} & c^{3} \end{matrix} | = \end{matrix}

\begin{matrix} = (a - b) (b - c) | \begin{matrix} a + b & a^{2} \\ b + c & c^{2} \end{matrix} | = (a - b) (b - c) | \begin{matrix} a + b & a^{2} \\ c - a & c^{2} - a^{2} \end{matrix} | = \end{matrix}

\begin{matrix} = (a - b) (b - c) (c - a) (a b + b c + c a) . \end{matrix}

3^{\circ}

Az első sort a többi sorból kivonva, ered:

\begin{matrix} | \begin{matrix} 1 + a & 1 & 1 & 1 \\ - a & b & 0 & 0 \\ - a & 0 & c & 0 \\ - a & 0 & 0 & d \end{matrix} | = | \begin{matrix} b & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & d \end{matrix} | + a | \begin{matrix} b & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & d \end{matrix} | + | \begin{matrix} a & 0 & 0 \\ a & c & 0 \\ a & 0 & d \end{matrix} | - | \begin{matrix} a & b & 0 \\ a & 0 & 0 \\ a & 0 & d \end{matrix} | + | \begin{matrix} a & b & 0 \\ a & 0 & c \\ a & 0 & 0 \end{matrix} | = \end{matrix}

\begin{matrix} = b c d + a b c d + a c d + a b d + a b c = a b c d (1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}) . \end{matrix}

(Riesz Marczel, Győr.)

A feladatot még megoldották: Ádámffy E., Dömény I., Fekete M., Haar A., Jánosy Gy., Krampera Gy., Kürti I., Messer P., Pám M., Rássy P., Rosenberg J., Schöffer I., Schwarz Gy., Sonnenfeld J., Söpkéz Gy., Strobl J.