Kezdőlap


Feladat:	1058. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	az V. ker. főgymn. mathematikai köre , Dömény I. , Fekete M. , Haar Alfréd , Jánosy Gy. , Krampera Gy. , Kürti I. , Messer P. , Pám M. , Riesz M. , Rosenberg Jenő , Schöffer I. , Sonnenfeld J.
Füzet:	1903/február, 179 - 180. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/szeptember: 1058. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás.

\begin{matrix} sin 3 x = sin (2 x + x) = sin 2 x cos x + cos 2 x sin x = \end{matrix}

\begin{matrix} = 2 sin x cos^{2} x + (2 cos^{2} x - 1) sin x = 4 sin x cos^{2} x - sin x . \end{matrix}

Épp így

\begin{matrix} cos 3 x = cos 2 x cos x - sin 2 x sin x = \end{matrix}

\begin{matrix} = (1 - 2 sin^{2} x) cos x - 2 sin^{2} x cos x = cos x - 4 sin^{2} x cos x . \end{matrix}

Egyenletünk tehát így alakul:

\begin{matrix} 8 sin x cos^{2} x + 4 sin^{2} x cos x - 4 cos x - 2 sin x = 0, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} = 2 cos x (2 sin x cos - 1) + sin x (2 sin x cos x - 1) = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} (sin 2 x - 1) (2 cos x + sin x) = 0. \end{matrix}

Ha már most

\begin{matrix} sin 2 x - 1 = 0, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} x_{1} = 45^{\circ} \pm k π, \end{matrix}

ha pedig

\begin{matrix} 2 cos x + sin x = 0, \end{matrix}

akkor

cos x

-szel szabad osztani, mert

x = 90^{\circ}

nem gyök, tehát

\begin{matrix} tg x = - 2, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} x_{2} = 116^{\circ} 33' 54'' \pm k π . \end{matrix}

(Rosenberg Jenő, Keszthely.)

Második megoldás.

\begin{matrix} sin 3 x = sin (2 x + x) = 3 sin x - 4 sin^{3} x \end{matrix}

és

\begin{matrix} cos 3 x = 4 cos^{3} - 3 cos x \end{matrix}

tehát egyenletünk

\begin{matrix} 6 sin x - 8 sin^{3} x = 4 cos^{3} x, \end{matrix}

x = 90^{\circ}

nem gyöke egyenletünknek, tehát szabad

2 cos^{3} x

-szel minden tagot osztani:

\begin{matrix} 3 tg x \cdot \frac{1}{cos^{2} x} - 4 {tg}^{3} x = 2. \end{matrix}

Ámde

\begin{matrix} \frac{1}{cos^{2} x} = {sec}^{2} x = 1 + {tg}^{2} x, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} {tg}^{3} x - 3 tg x + 2 = 0. \end{matrix}

Ez így is írható:

\begin{matrix} (tg x - 1) ({tg}^{2} x + tg x - 2) = 0. \end{matrix}

\begin{matrix} tg x - 1 = 0, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} x_{1} = 45^{\circ} \pm k π, \end{matrix}

ha pedig

\begin{matrix} {tg}^{2} x + tg x - 2 = 0, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} tg x = \frac{- 1 \pm 3}{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} x_{2} = 116^{\circ} 33' 54'' \pm k π . \end{matrix}

(Haar Alfréd, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Dömény I., Fekete M., Jánosy Gy., Krampera Gy., Kürti I., Messer P., Pám M., Riesz M., Schöffer I., Sonnenfeld J., az V. ker. fg. math. köre.