Kezdőlap


Feladat:	1057. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dömény I. , Fekete M. , Haar A. , Heimlich P. , Jánosy Gyula , Kertész G. , Krampera Gy. , Kürti I. , Pám M. , Pichler Sándor , Riesz M. , Rosenberg J. , Schuster Gy. , Schwarz Gy. , Sonnenfeld I. , Söpkéz Gy.
Füzet:	1903/február, 178 - 179. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Háromszögek geometriája, Beírt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/szeptember: 1057. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás. Ha a beírható kör középpontja $O$ , sugara $ρ$ és $A O$ a $B_{1} C_{1}$ et $A_{2}$ -ben metszi, akkor az $O B_{1} A_{2}$ háromszögből

\begin{matrix} a_{1} = 2 ρ cos \frac{α}{2} \end{matrix}

és ha

t

-vel jelöljük az

A B C

háromszög területét,

\begin{matrix} ρ = \frac{t}{s} \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} a_{1}^{2} = \frac{4 t^{2}}{s^{2}} cos^{2} \frac{α}{2} = \frac{4 t^{2} (s - a)}{b c s}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} \frac{a_{1}^{2}}{a (s - a)} = \frac{4 (s - a) (s - b) (s - c)}{a b c} = \frac{b_{1}^{2}}{b (s - b)} = \frac{c_{1}^{2}}{c (s - c)} . \end{matrix}

(Jánosy Gyula, Budapest.)

Második megoldás. A 389. feladat alapján (K. M. L. V. 72. l.):

\begin{matrix} a_{1} = 2 (s - a) \sqrt[]{\frac{(s - b) (s - c)}{b c}}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \frac{a_{1}^{2}}{a (s - a)} = \frac{4 (s - a) (s - b) (s - c)}{a b c} . \end{matrix}

Ezen kifejezés azonban

a, b, c

-re nézve teljesen symmetrikus, tehát:

\begin{matrix} \frac{a_{1}^{2}}{a (s - a)} = \frac{b_{1}^{2}}{b (s - b)} = \frac{c_{1}^{2}}{c (s - c)} . \end{matrix}

(Pichler Sándor, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Dömény I., Fekete M., Haar A., Heimlich P., Kertész G., Kürti I., Krampera Gy., Pám M., Riesz M., Rosenberg J., Schuster Gy., Schwarz Gy., Sonnenfeld I., Söpkéz Gy.