Kezdőlap


Feladat:	1047. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ádámffy E. , Antal Márkus , Bartók I. , Bíró A. , Braun J. , Dömény J. , Haar A. , Kertész G. , Kürti J. , Pichler S. , Rássy P. , Rosenberg J. , Schöffer I. , Sonnenfeld J. , Szűcs A. , Tóth B.
Füzet:	1905/április, 198 - 199. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Parabola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/április: 1047. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen valamely kör egyenlete:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = r^{2}, \end{matrix}

(1)

akkor a kör

(ξ, η)

pontjához tartozó érintő egyenlete:

\begin{matrix} x ξ + y η = r^{2} . \end{matrix}

(2)

Ha ez az érintő átmegy a

P (x_{0}, y_{0})

ponton, akkor

\begin{matrix} x_{0} ξ + y_{0} η = r^{2} \end{matrix}

(3)

és mivel föltételünk szerint még

\begin{matrix} ξ^{2} + η^{2} = r^{2}, \end{matrix}

(4)

azért

(3)

-ból és

(4)

-ből a

ξ, η

meghatározhatók, mikor is azt találjuk, hogy mind

ξ

-re, mind

η

-ra általában két értéket kapunk, tehát valamely

P

pontból a körhöz általában két érintőt vonhatunk.
A számítás eredménye az, hogy

\begin{matrix} ξ = \frac{r}{x_{0}^{2} + y_{0}^{2}} (r x_{0} \pm y_{0} \sqrt[]{x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - r^{2}}) \end{matrix}

és

\begin{matrix} η = \frac{r}{x_{0}^{2} + y_{0}^{2}} (r y_{0} \pm x_{0} \sqrt[]{x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - r^{2}}) . \end{matrix}

P

ponton átmenő két érintő egyenletét már most megkapjuk, ha

ξ_{1}, η_{1}

, illetőleg

ξ_{2}, η_{2}

értékeit a

(2)

egyenletbe helyettesítjük, mikor is azt találjuk, hogy

\begin{matrix} t_{1} \equiv y = - \frac{r x_{0} + y_{0} \sqrt[]{x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - r^{2}}}{r y_{0} + x_{0} \sqrt[]{x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - r^{2}}} \cdot x + \frac{r (x_{0} + y_{0}^{2})}{r y_{0} + x_{0} \sqrt[]{x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - r^{2}}} \end{matrix}

és

\begin{matrix} t_{2} \equiv y = - \frac{r x_{0} - y_{0} \sqrt[]{x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - r^{2}}}{r y_{0} - x_{0} \sqrt[]{x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - r^{2}}} \cdot x + \frac{r (x_{0}^{2} + y_{0})}{r y_{0} - x_{0} \sqrt[]{x_{0}^{2} + y_{0} - r^{2}}} . \end{matrix}

t_{1}

és

t_{2}

egymásra merőlegesek, akkor iránytényezőik szorzata

- 1

-gyel egyenlő, tehát

\begin{matrix} \frac{r x_{0} + y_{0} \sqrt[]{x_{0}^{2} + y_{0}^{2}} - r^{2}}{r y_{0} + x_{0} \sqrt[]{x_{0} + y_{0}^{2} - r^{2}}} \cdot \frac{r x_{0} - y_{0} \sqrt[]{x_{0}^{2} + y_{0}^{2}} - r^{2}}{r y_{0} - x_{0} \sqrt[]{x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - r^{2}}} = - 1, \end{matrix}

honnan

\begin{matrix} (x_{0} + y_{0}^{2}) (x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - 2 r^{2}) = 0. \end{matrix}

Ha feltesszük, hogy

P

nincs a kérdőpontban, akkor

\begin{matrix} x_{0} + y_{0}^{2} = {\bar{O P}}^{2} \neq 0, \end{matrix}

tehát kell, hogy

\begin{matrix} x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - 2 r^{2} = 0 \end{matrix}

(5)

legyen, miből világosan látható, hogy az egymásra merőleges érintők

P

metszéspontjának mértani helye oly, az eredetivel koncentrikus kör, melynek sugara:

\begin{matrix} R = r \sqrt[]{2} . \end{matrix}

A mi esetünkben

r^{2} = 32

, tehát a mértani hely egyenlete

(5)

-ből:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 64. \end{matrix}

(6)

(Antal Márkus.)