Kezdőlap


Feladat:	1045. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ádámffy E. , Bartók I. , Dömény I. , Haar A. , Kertész G. , Kürti I. , Rássy P. , Rosenberg J. , Schwemmer I. , Schöffer I. , Szűcs A. , Szücs Adolf , Tóth B.
Füzet:	1903/október, 40. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Egyenesek egyenlete, Determinánsok további alkalmazásai, Hossz, kerület, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/április: 1045. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Valamely $M (x_{0}, y_{0})$ pont távolsága $(d)$ az $a x + b y + c = 0$ egyenestől

\begin{matrix} d = \frac{a x_{0} + b y_{0} + c}{\pm \sqrt[]{a^{2} + b^{2}}}, \end{matrix}

a hol a

\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}

oly előjellel veendő, hogy

\frac{c}{\pm \sqrt[]{a^{2} + b^{2}}}

mindig negatív legyen.
Ha már most az adott egyenesek képezte háromszögbe írt kör sugara

r

és középpontjának koordinátái

x_{0}, y_{0}

, akkor

\begin{matrix} \frac{y_{0} + 5}{- 1} = r \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{3 x_{0} + 4 y_{0} - 28}{5} = r \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{- 5 x_{0} + 2 y_{0} \sqrt[]{6} - 24}{7} = r, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} r + y_{0} = - 5 \end{matrix}

\begin{matrix} 5 r - 3 x_{0} - 4 y_{0} = - 28 \end{matrix}

\begin{matrix} 7 r + 5 x_{0} - 2 \sqrt[]{6} y_{0} = - 24 \end{matrix}

honnan

\begin{matrix} r = | \begin{matrix} - 5 & 0 & 1 \\ - 28 & - 3 & - 4 \\ - 24 & 5 & - 2 \sqrt[]{6} \end{matrix} | : | \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 5 & - 3 & - 4 \\ 7 & 5 & - 2 \sqrt[]{6} \end{matrix} | = \frac{- 1}{115} (542 + 3 \sqrt[]{6}) . \end{matrix}

Ha pedig a távolság előjelére nem vagyunk tekintettel, akkor a keresett átmérő

\begin{matrix} d = 2 r = \frac{2}{115} (542 + \sqrt[]{6)} = 9,55. \end{matrix}

(Szűcs Adolf, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Ádámffy E., Bartók I., Dömény I., Haar A., Kertész G., Kürti I., Rássy P., Rosenberg J., Schöffer J., Schwemmer J. , Szűcs A., Tóth B.