Kezdőlap


Feladat:	1044. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádámffy E. , Bartók I. , Braun I. , Dömény Imre , Haar A. , Kertész G. , Kiss J. , Kürti I. , Neidenbach E. , Pichler S. , Rássy P. , Rosenberg J. , Schöffer I. , Scűcs A. , Tóth B.
Füzet:	1903/október, 38 - 40. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör egyenlete, Parabola egyenlete, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/április: 1044. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . A görbék valós metszéspontjainak koordinátái:

\begin{matrix} x_{1} = 2; y_{1} = 2 \sqrt[]{3} \end{matrix}

\begin{matrix} x_{2} = 2; y_{2} = - 2 \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Rajzoljunk

P_{1} (x_{1}, y_{1})

pontban mind a körhöz, mind a parabolához érintőket

(t_{1}

és

t_{2})

-t, melyeknek egyenletei:

\begin{matrix} t_{1} \equiv x x_{1} + y y_{1} = r^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} t_{2} \equiv y y_{1} = p (x + x_{1}), \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} t_{1} \equiv y = - \frac{1}{\sqrt[]{3}} x + \frac{8}{\sqrt[]{3}} \end{matrix}

és

\begin{matrix} t_{2} \equiv y = \frac{\sqrt[]{3}}{2} x + \sqrt[]{3} . \end{matrix}

E két érintő által bezárt szög tangensei:

\begin{matrix} tg α = \frac{5}{3} \sqrt[]{3} \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} α = 70^{\circ} 53' 37'' . \end{matrix}

2^{\circ}

. Ha a görbék metszéspontjai

P_{1}

és

P_{2}

és

O

a koordináták kezdőpontja, akkor a közös területrészt kiszámíthatjuk, ha a

P_{1} P_{2}

húr és a

{P_{1} P_{2}}_{}^{⌢}

ívvel határolt körszelethez hozzáadjuk a

P_{1} P_{2}

és a parabola által határolt területet, tehát a kettő által határolt idom területe:

\begin{matrix} T = \frac{4}{3} x_{1} y_{1} + körszelet területe . \end{matrix}

Ámde

\begin{matrix} körszelet területe = P_{1} O P_{2}, körcikk területe - P_{1} O P_{2} ▵ . \end{matrix}

Ismernünk kell tehát a

P_{1} O P_{2}

szöget. Mivel

\begin{matrix} tg \frac{P_{1} O P_{2}}{2} = \frac{y_{1}}{x_{1}} = \sqrt[]{3}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} P_{1} O P_{2} = 120^{\circ}, \end{matrix}

tehát:

\begin{matrix} körszelet területe = \frac{r^{2} π \cdot 120^{\circ}}{360^{\circ}} - 2 \cdot \frac{x_{1} y_{1}}{2} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{16 π}{3} - 4 \sqrt[]{3} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} T = \frac{16 \sqrt[]{3}}{3} + \frac{16 π}{3} - 4 \sqrt[]{3} = \frac{4}{3} (\sqrt[]{3} + 4 π) = \end{matrix}

\begin{matrix} 19,06 területegység . \end{matrix}

(Dömény Imre, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Ádámffy E., Bartók I., Braun J., Haar A., Kiss J., Kertész G., Kürti J., Neidenbach E., Pichler S., Rássy P., Rosenberg J., Schöffer J., Szűcs A., Tóth B.