Kezdőlap


Feladat:	1043. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartók I. , Haar A. , Kertész Gusztáv , Neidenbach E. , Pichler S. , Rosenberg J.
Füzet:	1903/október, 37 - 38. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai jellegű feladatok, Ellipszis egyenlete, Ellipszis, mint mértani hely, Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/április: 1043. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Valamelyik függőleges síkban koordináta rendszert helyezünk el, melynek kezdőpontja $(0)$ a mozgás kiindulási pontjában legyen és amelynek abscissa tengelye vízszintes irányú.
Ha a testet $0$ -ból $c$ kezdősebességgel $α$ szög alatt elhajítjuk, akkor mint a fizikából ismeretes, a parabola-pálya csúcspontjának koordinátái:

\begin{matrix} y = \frac{c^{2}}{2 g} \cdot sin^{2} α \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} x = \frac{c^{2}}{2 g} \cdot sin 2 α \end{matrix}

(2)

Hogy a csúcspontok geometriai helyének egyenletét megkapjuk, e két egyenletből ki kell küszöbölnünk

α

-t, mely telszőleges lehet. E végből az

(1)

egyenletet átalakítjuk a

\begin{matrix} 2 sin^{2} α = 1 - cos 2 α \end{matrix}

egyenlet segélyével. Lesz tehát az

(1)

-ből

\begin{matrix} y - \frac{c^{2}}{4 g} = - \frac{c^{2}}{4 g} \cdot cos 2 α \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} cos^{2} 2 α = \frac{{(y - \frac{c^{2}}{4 g})}^{2}}{{(\frac{c^{2}}{4 g})}^{2}} \end{matrix}

(3)

és

(2)

-ből

\begin{matrix} sin^{2} 2 α = \frac{x^{2}}{{(\frac{c^{2}}{2 g})}^{2}} \end{matrix}

(4)

tehát a

(3)

és

(4)

összegéből ered

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{{(\frac{c^{2}}{2 g})}^{2}} + \frac{{(y - \frac{c^{2}}{4 g})}^{2}}{{(\frac{c^{2}}{4 g})}^{2}} = 1. \end{matrix}

(5)

Ha most az

\begin{matrix} x = X \end{matrix}

\begin{matrix} y - \frac{c^{2}}{4 g} = Y \end{matrix}

(6)

egyenletekkel áttérünk egy oly koordináta rendszerre, melynek ordinátatengelye ugyanaz, és melynek abscissatengelye az előbbinél

\frac{c^{2}}{4 g}

-vel magasabban fekszik, akkor a görbe egyenlete:

\begin{matrix} \frac{X^{2}}{{(\frac{c^{2}}{2 g})}^{2}} + \frac{Y^{2}}{{(\frac{c^{2}}{4 g})}^{2}} = 1. \end{matrix}

Ez oly ellipszis egyenlete, melynek féltengelyhosszai

\frac{c^{2}}{2 g}

és

\frac{c^{2}}{4 g}

. Eszerint a keresett geometriai hely oly ellipszis, melynek kis tengelyén a test függélyesen felhajítva végig halad és amelynek nagy tengelye a kis tengely kétszeresével egyenlő.

(Kertész Gusztáv, Pécs.)

A feladatot még megoldották: Bartók I., Haar A., Neidenbach E., Pichler S., Rosenberg J.