Kezdőlap


Feladat:	1040. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádámffy E. , Bartók I. , Bíró A. , Dömény I. , Friedländer H. , Glück I. , Haar A. , Heimlich P. , Hirschfeld Gy. , Kertész G. , Kürti I. , Messer P. , Neidenbach E. , Pám M. , Paunz A. , Pichler S. , Rássy P. , Rosenberg J. , Schlesinger O. , Schuster Gy. , Schwemmer I. , Schöffer I. , Sonnenfeld József , Szűcs A. , Söpkéz Gy. , Tóth B.
Füzet:	1902/december, 117 - 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszög területe, Szabályos sokszögek geometriája, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/április: 1040. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az egyközepű körök középpontja $O$ , akkor legyen:

\begin{matrix} A_{1} O = A_{2} O = A_{3} O = R \end{matrix}

\begin{matrix} B_{1} O = B_{2} O = B_{3} O = r \end{matrix}

Carnot tétele alapján:

\begin{matrix} {\bar{A_{1} B_{1}}}^{2} = R^{2} + r^{2} - 2 R r cos A_{1} O B_{1} \end{matrix}

\begin{matrix} {\bar{A_{2} B_{1}}}^{2} = R^{2} + r^{2} - 2 R r cos A_{2} O B_{1} \end{matrix}

\begin{matrix} {\bar{A_{3} B_{1}}}^{2} = R^{2} + r^{2} - 2 R r cos A_{3} O B_{1} \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} {\bar{A_{1} B_{1}}}^{2} + {\bar{A_{2} B_{1}}}^{2} + {\bar{A_{3} B_{1}}}^{2} = 3 (R^{2} + r^{2}) - 2 R r (cos A_{1} O B_{1} + cos A_{2} O B_{1} + cos A_{3} O B_{1}) . \end{matrix}

(1)

Ha az

A_{1} O B_{1}, A_{2} O B_{1}, A_{3} O B_{1}

szögek legkisebbikét

α

-val jelöljük, akkor a másik kettő

(120^{\circ} - α)

, illetőleg

(120^{\circ} + α)

-val egyenlő, tehát:

\begin{matrix} cos A_{1} O B_{1} + cos A_{2} O B_{1} + cos A_{3} O B_{1} = \end{matrix}

\begin{matrix} = cos α + cos (120^{\circ} - α) + cos (120^{\circ} + α) = \end{matrix}

\begin{matrix} = cos α + 2 \cdot cos α \cdot cos 120^{\circ} = cos α (1 + 2 \cdot cos 120^{\circ}) = 0 \end{matrix}

és így

(1)

-ből

\begin{matrix} \frac{{\bar{A_{1} B_{1}}}^{2} \cdot \sqrt[]{3}}{4} + \frac{{\bar{A_{2} B_{1}}}^{2} \cdot \sqrt[]{3}}{4} + \frac{{\bar{A_{3} B_{1}}}^{2} \cdot \sqrt[]{3}}{4} = \frac{3 \sqrt[]{3} R^{2}}{4} + \frac{2 \sqrt[]{3} r^{2}}{4} . \end{matrix}

Eme egyenlet baloldalán az összeadandók rendre az

A_{1} B_{1}, A_{2} B_{1}

és az

A_{3} B_{1}

fölé rajzolható egyenlőoldalú háromszögek területének mérőszámai, míg a jobboldalon az

A_{1} A_{2} A_{3}

és a

B_{1} B_{2} B_{3}

háromszögek területének mérőszámait találjuk, tehát tételünk igaznak bizonyult.

(Sonnenfeld József, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Ádámffy E., Bartók I., Biró A., Dömény I., Friedländer H., Glück I., Haar A., Heimlich P., Hirschfeld Gy., Kertész G., Kürti I., Messer P., Neidenbach E., Pám M., Pichler S., Paunz A., Rássy P., Rosenberg J., Schöffer I., Schuster Gy., Schwemmer I., Schlesinger O., Söpkéz Gy., Szűcs A., Tóth B.