Kezdőlap


Feladat:	1037. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádámffy E. , Bánó L. , Bartók I. , Dömény I. , Fekete M. , Füstös P. , Haar A. , Hirschfeld Gy. , Kertész G. , Kiss J. , Kürti I. , Messer P. , Neidenbach E. , Pám M. , Pichler S. , Rássy P. , Rosenberg J. , Schlesinger O. , Schwemmer I. , Steiger J. , Szücs Adolf , Söpkéz Gy. , Tandlich E. , Tóth B. , Végváry I. , Wáhl V.
Füzet:	1902/november, 70 - 72. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb feladványok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/április: 1037. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenletrendszer determinánsa

\begin{matrix} | \begin{matrix} (\binom{n}{0}) & (\binom{n}{1}) & (\binom{n}{2}) \\ (\binom{n + 1}{0}) & (\binom{n + 1}{1}) & (\binom{n + 1}{2}) \\ (\binom{n + 2}{0}) & (\binom{n + 2}{1}) & (\binom{n + 2}{2}) \end{matrix} | = D, \end{matrix}

melyet mindjárt a legáltalánosabb alakjában fogunk kiszámítani. Legyen kiszámítandó tehát a

\begin{matrix} Δ_{k} = | \begin{matrix} (\binom{n}{0}) & (\binom{n}{1}) & ... & (\binom{n}{k}) \\ (\binom{n + 1}{0}) & (\binom{n + 1}{1}) & ... & (\binom{n + k}{k}) \\ ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... \\ (\binom{n + k}{0}) & (\binom{n + k}{1}) & ... & (\binom{n + k}{k}) \end{matrix} | \end{matrix}

determináns. Vonjuk le minden sorból , az előtte álló sor elemeit és tartsuk szem előtt, hogy:

\begin{matrix} (\binom{m}{i}) - (\binom{m - 1}{i}) = (\binom{m - 1}{i - 1}), \end{matrix}

akkor:

\begin{matrix} Δ = | \begin{matrix} (\binom{n}{0}) & (\binom{n}{1}) & ... & (\binom{n}{k}) \\ 0 & (\binom{n}{0}) & ... & (\binom{n}{k - 1}) \\ 0 & (\binom{n + 1}{0}) & ... & (\binom{n + 1}{k - 1}) \\ ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & (\binom{n + k - 1}{0}) & ... & (\binom{n + k - 1}{k - 1}) \end{matrix} | = \end{matrix}

\begin{matrix} = | \begin{matrix} (\binom{n}{0}) & (\binom{n}{1}) & ... & (\binom{n}{k - 1}) \\ (\binom{n + 1}{0}) & (\binom{n + 1}{1}) & ... & (\binom{n + 1}{k - 1}) \\ ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... \\ (\binom{n + k - 1}{0}) & (\binom{n + k - 1}{1}) & ... & (\binom{n + k - 1}{k - 1}) \end{matrix} | = Δ_{k - 1}, \end{matrix}

ha az első determinánst az első oszlop elemei szerint kifejtjük. Ha ez eljárást tovább folytatjuk, nyerjük, hogy:

\begin{matrix} Δ_{k} = Δ k - 1 = Δ k - 2 = ... = Δ_{2} \end{matrix}

és mivel

\begin{matrix} Δ_{2} = | \begin{matrix} (\binom{n}{0}) & (\binom{n}{1}) \\ (\binom{n + 1}{0}) & (\binom{n + 1}{1}) \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & n \\ 1 & n + 1 \end{matrix} | = 1, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} Δ_{k} = 1 \end{matrix}

és így

\begin{matrix} D = 1. \end{matrix}

Nyerjük tehát, hogy

\begin{matrix} x = | \begin{matrix} (\binom{n}{3}) & (\binom{n}{1}) & (\binom{n}{2}) \\ (\binom{n + 1}{3}) & (\binom{n + 1}{1}) & (\binom{n + 1}{2}) \\ (\binom{n + 2}{3}) & (\binom{n + 2}{1}) & (\binom{n + 2}{2}) \end{matrix} | = (\binom{n + 2}{3}) \end{matrix}

\begin{matrix} y = | \begin{matrix} (\binom{n}{0}) & (\binom{n}{3}) & (\binom{n}{2}) \\ (\binom{n + 1}{0}) & (\binom{n + 1}{3}) & (\binom{n + 1}{2}) \\ (\binom{n + 2}{0}) & (\binom{n + 2}{3}) & (\binom{n + 2}{2}) \end{matrix} | = - (\binom{n + 1}{2}) \end{matrix}

\begin{matrix} z = | \begin{matrix} (\binom{n}{0}) & (\binom{n}{1}) & (\binom{n}{3}) \\ (\binom{n + 1}{0}) & (\binom{n + 1}{1}) & (\binom{n + 1}{3}) \\ (\binom{n + 2}{0}) & (\binom{n + 2}{1}) & (\binom{n + 2}{3}) \end{matrix} | = (\binom{n}{1}) \end{matrix}

(Szűcs Adolf, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Ádámffy E., Bánó L., Bartók I., Dömény I., Fekete M., Füstös P., Hirschfeld Gy., Haar A., Kertész G., Kürti I., Kiss J., Messer P., Neidenhach E., Pám M., Pichler S., Rássy P., Rosenberg J., Söpkéz Gy., Steiger J., Schlesinger O., Schwemmer I., Tandlich E., Tóth B., Wáhl V., Végváry I.