Kezdőlap


Feladat:	1030. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ádámffy E. , Bartók I. , Bíró A. , Brambring V. , Braun I. , Dömény E. , Dömény I. , Enyedi B. , Haar A. , HausvaterI. , Kertész G. , Kiss J. , Kürti I. , Liebner A. , Pichler S. , Pivnyik I. , Rássy P. , Riesz K. , Rosenberg J. , Schwemmer I. , Schöffer I. , Sonnenfeld J. , Szücs Adolf
Füzet:	1903/március, 200. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hiperbola egyenlete, Háromszög területe, Determinánsok - lineáris egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/március: 1030. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tudvalévő, hogy $P_{1} P_{2} P_{3}$ háromszög területe:

\begin{matrix} t = \frac{1}{2} | \begin{matrix} x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1 \end{matrix} | \end{matrix}

\begin{matrix} x y = 1 \end{matrix}

egyenletből

\begin{matrix} y_{i} = \frac{1}{x_{i}} (i = 1, 2, 3), \end{matrix}

tehát:

\begin{matrix} t = \frac{1}{2} | \begin{matrix} x_{1} & \frac{1}{x_{1}} & 1 \\ x_{2} & \frac{1}{x_{2}} & 1 \\ x_{3} & \frac{1}{x_{3}} & 1 \end{matrix} | = \frac{| \begin{matrix} x_{1}^{2} & 1 & x_{1} \\ x_{2}^{2} & 1 & x_{2} \\ x_{3}^{2} & 1 & x_{3} \end{matrix} |}{2 x_{1} x_{2} x_{3}} = \frac{| \begin{matrix} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} \\ 1 & x_{3} & x_{3}^{2} \end{matrix} |}{2 x_{1} x_{2} x_{3}} . \end{matrix}

A determináns utolsó sorát az elsőből és másodikból levonva:

\begin{matrix} t = \frac{| \begin{matrix} 0 & x_{1} - x_{3} & x_{1}^{2} - x_{3}^{2} \\ 0 & x_{2} - x_{3} & x_{2}^{2} - x_{3}^{2} \\ 1 & x_{3} & x_{3}^{2} \end{matrix} |}{2 x_{1} x_{2} x_{3}} = \frac{(x_{1} - x_{3}) (x_{2} - x_{3})}{2 x_{1} x_{2} x_{3}} | \begin{matrix} 0 & 1 & x_{1} + x_{3} \\ 0 & 1 & x_{2} + x_{3} \\ 1 & x_{3} & x_{3}^{2} \end{matrix} | = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{(x_{1} - x_{3}) (x_{2} - x_{3})}{2 x_{1} x_{2} x_{3}} | \begin{matrix} 0 & 0 & x_{1} - x_{3} \\ 0 & 1 & x_{2} + x_{3} \\ 1 & x_{3} & x_{3}^{2} \end{matrix} | = \frac{(x_{1} - x_{3}) (x_{2} - x_{3}) (x_{3} - x_{1})}{2 x_{1} x_{2} x_{3}} . \end{matrix}

(Szűcs Adolf, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Ádámffy E., Bartók I., Biró A., Brambring V., Braun I., Dömény E., Dömény I., Enyedi B, Haar A., Hausvater I., Kertész G., Kiss J., Kürti I., Liebner A., Pichler S., Pivnyik I., Rássy P., Riesz K., Rosenberg J., Schöffer I., Schwemmer I., Sonnenfeld J.