Kezdőlap


Feladat:	1029. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádámffy E. , Bartók I. , Deutsch E. , Deutsch I. , Haar A. , Hirschfeld Gy. , Jánosy Gy. , Kertész G. , Kürti Imre , Pichler S. , Pivnyik I. , Riesz K. , Rosenberg J. , Schlesinger O. , Schwemmer I. , Schöffer I. , Szűcs A. , Tandlich E.
Füzet:	1902/szeptember, 22 - 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Determinánsok - lineáris egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/március: 1029. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindenekelőtt néhány determinánst számitunk ki, a melyekre szükségünk lesz. Az egyenletrendszer determinánsa:

\begin{matrix} D = | \begin{matrix} a^{3} & a^{2} & a & 1 \\ b^{3} & b^{2} & b & 1 \\ c^{3} & c^{2} & c & 1 \\ d^{3} & d^{2} & d & 1 \end{matrix} | \end{matrix}

Vonjuk ki az utolsó sor elemeit a három első sor megfelelő elemeiből, akkor:

\begin{matrix} D = | \begin{matrix} a^{3} - d^{3} & a^{3} - d^{2} & a - d & 0 \\ b^{3} - d^{3} & b^{2} - d^{2} & b - d & 0 \\ c^{3} - d^{3} & c^{2} - d^{2} & c - d & 0 \\ d^{3} & d^{2} & d & 1 \end{matrix} | = (a - d) (b - d) (c - d) | \begin{matrix} a^{2} + a d + d^{2} & a + d & 1 \\ b^{2} + b d + b^{2} & b + d & 1 \\ c^{2} + c d + d^{2} & c + d & 1 \end{matrix} | = \end{matrix}

\begin{matrix} = (a - d) (b - d) (c - d) | \begin{matrix} a^{2} & a & 1 \\ b^{2} & b & 1 \\ c^{2} & c & 1 \end{matrix} | = (a - d) (b - d) (c - d) | \begin{matrix} a^{2} - c^{2} & a - c & 0 \\ b^{2} - c^{2} & b - c & 0 \\ c^{2} & c & 1 \end{matrix} | = \end{matrix}

\begin{matrix} = (a - c) (a - d) (b - c) (b - d) (c - d) | \begin{matrix} a + c & 1 \\ b + c & 1 \end{matrix} | = (a - b) (a - c) (a - d) (b - c) (b - d) (c - d) . \end{matrix}

Továbbá:

\begin{matrix} D_{1} = | \begin{matrix} 1 & a^{2} & a & 1 \\ 0 & b^{2} & b & 1 \\ 0 & c^{2} & c & 1 \\ 0 & d^{2} & d & 1 \end{matrix} | = | \begin{matrix} b^{2} & b & 1 \\ c^{2} & c & 1 \\ d^{2} & d & 1 \end{matrix} | = (b - c) (b - d) (c - d) \end{matrix}

\begin{matrix} D_{2} = | \begin{matrix} a^{3} & 1 & a & 1 \\ b^{3} & 0 & b & 1 \\ c^{3} & 0 & c & 1 \\ d^{3} & 0 & d & 1 \end{matrix} | = - | \begin{matrix} 1 & a^{3} & a & 1 \\ 0 & b^{3} & b & 1 \\ 0 & c^{3} & c & 1 \\ 0 & d^{3} & d & 1 \end{matrix} | = - | \begin{matrix} b^{3} & b & 1 \\ c^{3} & c & 1 \\ d^{3} & d & 1 \end{matrix} | = \end{matrix}

\begin{matrix} = - | \begin{matrix} b^{3} - d^{3} & b - d & 0 \\ c^{3} - d^{3} & c - d & 0 \\ d^{3} & d & 1 \end{matrix} | = - (b - d) (c - d) | \begin{matrix} b^{2} + b d + d^{2} & 1 \\ c^{2} + c d + d^{2} & 1 \end{matrix} | = \end{matrix}

\begin{matrix} = - (b - d) (c - d) | \begin{matrix} b^{2} - c^{2} + d (b - c) & 0 \\ c^{2} + c d + d^{2} & 1 \end{matrix} | = - (b - c) (b - d) (c - d) (b + c + d) . \end{matrix}

Épp így:

\begin{matrix} D_{3} = | \begin{matrix} a^{3} & a^{2} & 1 & 1 \\ b^{3} & b^{2} & 0 & 1 \\ c^{3} & c^{2} & 0 & 1 \\ d^{3} & d^{2} & 0 & 1 \end{matrix} | = (b - c) (b - d) (c - d) (b c + b d + c d) \end{matrix}

és

\begin{matrix} D_{4} = | \begin{matrix} a^{3} & a^{2} & a & 1 \\ b^{3} & b^{2} & b & 0 \\ c^{3} & c^{2} & c & 0 \\ d^{3} & d^{2} & d & 0 \end{matrix} | = - (b - c) (b - d) (c - d) b c d . \end{matrix}

Tehát:

\begin{matrix} x = \frac{D_{1}}{D} = \frac{1}{(a - b) (a - c) (a - d)}, \end{matrix}

\begin{matrix} y = \frac{D_{2}}{D} = \frac{b + c + d}{(a - b) (a - c) (a - d)}, \end{matrix}

\begin{matrix} z = \frac{D_{3}}{D} = \frac{b c + b d + c d}{(a - b) (a - c) (a - d)}, \end{matrix}

\begin{matrix} u = \frac{D_{4}}{D} = - \frac{b c d}{(a - b) (a - c) (a - d)} . \end{matrix}

(Kürti Imre, Eger.)

A feladatot még megoldották: Ádámffy E., Bartók I., Deutsch E., Deutsch I., Haar A., Hirschfeld Gy., Jánosy Gy., Kertész G., Pichler S., Pivnyik I., Riesz K., Rosenberg J., Schlesinger O., Schwemmer I., Schöffer I., Szücs A., Tandlich E.