Kezdőlap


Feladat:	1023. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartók I. , Dömény E. , Enyedi B. , Haar Alfréd , Kertész G. , Kürti I. , Pichler S. , Pivnyik I. , Rássy P. , Riesz K. , Rosenberg J. , Szűcs A.
Füzet:	1902/december, 114 - 115. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Parabola egyenlete, Egyenesek egyenlete, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/február: 1023. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $y^{2} = 2 p x$ parabolát, melynek csúcspontja $A$ , messe valamely egyenes a $B (x_{1}, y_{1})$ és $C (x_{2}, y_{2})$ pontokban. Ha $B C$ az abscissa tengelyt $P (ξ, η)$ -ban metszi és a $B$ , illetőleg a $C$ vetületét az abscissa tengelyre $B_{1}$ , illetőleg $C_{1}$ -gyel jelöljük, akkor az $y_{1}$ ,illetőleg $y_{2}$ ordinátákon belül eső területek $(t_{1}$ és $t_{2})$ :

\begin{matrix} t_{1} = \frac{2}{3} x_{1} y_{1} \end{matrix}

és

\begin{matrix} t_{2} = \frac{- 2}{3} x_{2} y_{2} . \end{matrix}

Számítsuk ki még

B B_{1} P

és

C C_{1} P

háromszögek területét is:

\begin{matrix} B B_{1} P Δ = \frac{y_{1}}{2} (x_{1} - ξ) \end{matrix}

\begin{matrix} C C_{1} P Δ = \frac{- y_{2}}{2} (ξ - x_{2}) . \end{matrix}

tehát a keresett terület, ha

| y_{2} | < | y_{1} | :

\begin{matrix} T = t_{1} + t_{2} + C C_{1} P - B B_{1} P, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} T = \frac{2}{3} x_{1} y_{1} - \frac{2}{3} x_{2} y_{2} - \frac{1}{2} x_{1} y_{1} + \frac{1}{2} ξ y_{1} - \frac{1}{2} ξ y_{2} + \frac{1}{2} x_{2} y_{2} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{1}{6} x_{1} y_{1} - \frac{1}{6} x_{2} y_{2} + \frac{1}{2} ξ (y_{1} - y_{2}) = \frac{1}{6} (x_{1} y_{1} - x_{2} y_{2}) + \frac{1}{2} ξ (y_{1} - y_{2}) . \end{matrix}

(1)

A mi esetünkben a

B C

egyenes átmegy a fokuson

(ξ = \frac{7}{4}, 0)

és a

(0, - 1)

pontokon, tehát egyenlete

\begin{matrix} y = \frac{4}{7} x - 1. \end{matrix}

(2)

Hogy a

B

és

C

pontok koordinátáit ismerjük, keressük a

(2)

egyenlet és az

\begin{matrix} y^{2} = 7 x \end{matrix}

(3)

egyenlet közös gyökeit, ekkor nyerjük, hogy:

\begin{matrix} y_{1} = \frac{7}{8} (7 + \sqrt[]{65}), x_{1} = \frac{7}{32} (57 + 7 \sqrt[]{65}); \end{matrix}

\begin{matrix} y_{2} = \frac{7}{8} (7 - \sqrt[]{65}), x_{2} = \frac{7}{32} (57 - 7 \sqrt[]{65}) . \end{matrix}

A talált értékeket

(1)

-be téve:

\begin{matrix} T = \frac{49 \cdot 65 \cdot \sqrt[]{65}}{32 \cdot 12} = 66,87 területegység \end{matrix}

(Haar Alfréd, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Bartók I., Dömény E., Enyedi B., Kertész G., Kürti I., Pivnyik I., Pichler S., Rássy P., Riesz K., Rosenberg J., Szücs A.