Kezdőlap


Feladat:	1021. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartók I. , Dömény E. , Dömény I. , Enyedi B. , Haar A. , Kertész G. , Kürti Imre , Liebner A. , Neidenbach E. , Pichler S. , Pivnyik I. , Rássy P. , Riesz K. , Rosenberg J. , Schwemmer I. , Szombathy J. , Szűcs A.
Füzet:	1903/április, 222 - 223. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Parabola egyenlete, Kúpszeletek érintői, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/február: 1021. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a parabola egyenlete

\begin{matrix} y^{2} = 2 p x \end{matrix}

(1)

S

pont coordinátái pedig

a

és

b

. A parabola

(ξ, η)

pontjában vont érintő egyenlete:

\begin{matrix} y η = p (x + ξ) . \end{matrix}

(2)

Ha ez érintőtől megkívánjuk, hogy átmenjen az

S

ponton, akkor az

S

pont coordinátái kielégítik a

(2)

-t, vagyis:

\begin{matrix} b η = p (a + ξ) . \end{matrix}

(3)

Ha még azt is tekintetbe vesszük, hogy a

(ξ, η_{1})

pontja a parabolának, akkor

(1)

-ből

\begin{matrix} η^{2} = 2 p ξ . \end{matrix}

(4)

Emeljük most a

(3)

-at négyzetre és tegyük be a

(4)

-ből

η^{2}

értékét, akkor

\begin{matrix} 2 b^{2} p ξ = p^{2} {(a + ξ)}^{2} . \end{matrix}

(5)

mindkét oldalon gyököt vonva nyerjük, hogy:

\begin{matrix} p ξ - (b \sqrt[]{2 p}) \sqrt[]{ξ} + a p = 0, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \sqrt[]{ξ} = \frac{b \sqrt[]{2 p} \pm \sqrt[]{2 b^{2} p - 4 a p^{2}}}{2 p} = \frac{b \pm \sqrt[]{b^{2} - 2 a p}}{\sqrt[]{2 p}} \end{matrix}

és így:

\begin{matrix} ξ = \frac{{(b \pm \sqrt[]{b^{2} - 2 a p})}^{2}}{2 p} = \frac{b^{2} - a p \pm b \sqrt[]{b^{2} - 2 a p}}{p} \end{matrix}

és

\begin{matrix} η = b \pm \sqrt[]{b^{2} - 2 a p} . \end{matrix}

ξ_{1}, η_{1}

és

ξ_{2}, η_{2}

értékeket

(2)

-be téve nyerjük a feladatunknak megfelelő érintők egvenleteit. Mint látható, feladatunknak általában két megoldás felel meg. Ha azonban

\begin{matrix} b^{2} - 2 a p = 0, \end{matrix}

(6)

akkor

ξ_{1} = ξ_{2}

és

η_{1} = η_{2}

, feladatunknak tehát csak egy megoldása van, ez akkor áll be, a mint

(1)

és

(6)

összehasonlításából rögtön kitetszik, ha

S

éppen a parabolán fekszik. Végül ha

\begin{matrix} b^{2} - 2 a p < 0, \end{matrix}

akkor feladatunknak valós megoldása egyáltalában nincs.
A mi esetünkben

a = - 3;