Kezdőlap


Feladat:	1020. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartók I. , Braun I. , Enyedi B. , Haar A. , Kertész G. , Liebner A. , Neidenbach E. , Pichler Sándor , Riesz K. , Riesz Marczell
Füzet:	1902/december, 112 - 114. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör egyenlete, Parabola egyenlete, Kúpszeletek érintői, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/február: 1020. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két görbe által valamely pontjukban képezett szög alatt, a kérdéses metszéspontban rajzolt érintők képezte szöget értjük. Első megoldás: Az adott egyenletből folyik, hogy a parabola fokusa $(F)$ összeesik a kör középpontjával és a kör sugara $2 p$ -vel egyenlő. A parabola tengelye messe a directrixet $M$ -ben, a két görbe egyik metszéspontja legyen $P$ , melynek vetülete a parabola tengelyére $R$ , akkor az előbb mondottak szerint

\begin{matrix} M R = F P = 2 p \end{matrix}

és így

\begin{matrix} F R = M R - p = p = \frac{F P}{2}, \end{matrix}

tehát

F P

a tengellyel

60^{\circ}

-ú szöget zár be. De viszont a parabola érintője fél akkora szöget képez a megfelelő vezető sugárral, mint a tengely, tehát a parabolához a

P

pontban húzott érintő és az

F P

egyenes közötti szög

30^{\circ}

.
Végül a körnek

P

-ben rajzolt érintője az

F P

-vel

90^{\circ}

-ú szöget zár be, tehát a keresett szög

\begin{matrix} φ = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} . \end{matrix}

(Riesz Marczell, Győr.)

Második megoldás: Ha a metszéspont koordinátái

ξ

és

η

, akkor

\begin{matrix} η^{2} = 2 p ξ \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} {(ξ - \frac{p}{2})}^{2} + η^{2} = 4 p^{2} . \end{matrix}

(2)

Tegyük

η^{2}

értékét

(1)

-ből

(2)

-be, akkor

\begin{matrix} {(ξ + \frac{p}{2})}^{2} = 4 p^{2} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} ξ_{1} = \frac{3 p}{2} és ξ_{2} = \frac{- 5 p}{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} η_{1} = \pm p \sqrt[]{3} és η_{2} = \pm p \sqrt[]{- 5} . \end{matrix}

Mint látható, csak két valós metszéspontunk van

(\frac{3 p}{2}, p \sqrt[]{3})

és

(\frac{3 p}{2}, - p \sqrt[]{3})

, melyek az

x

tengelyhez képest szimmetrikus fekvésűek és mivel a görbék is szimmetrikusak az

x

tengelyhez képest, tehát elégséges, ha az egyik metszéspontban vizsgáljuk az érintők képezte szöget. A parabola

(ξ, η)

pontjában vont érintő egyenlete

\begin{matrix} y η = p (x + ξ) \end{matrix}

(3)

a kör

(ξ, η)

pontjához tartozó érintő egyenlete pedig

\begin{matrix} (x - \frac{p}{2}) (ξ - \frac{p}{2}) + y η = r^{2} \end{matrix}

(4)

A mi esetünkben

r = 2 p

és pl.

ξ = \frac{3 p}{2}, η = p \sqrt[]{3}

, tehát

(3)

-ból

\begin{matrix} y = \frac{x}{\sqrt[]{3}} + \frac{3 p}{2 \sqrt[]{3}} \end{matrix}

(5)

és

(4)

-ből

\begin{matrix} y = - \frac{x}{\sqrt[]{3}} = \frac{9 p}{2 \sqrt[]{3}} . \end{matrix}

(6)

Az egyik érintő iránytényezője

(5)

-ből

k_{1} = \frac{1}{\sqrt[]{3}}

.
A másik

(6)

-ból

k_{2} = - \frac{1}{\sqrt[]{3}}

, tehát az érintők által bezárt szög tangense:

\begin{matrix} tg φ = \frac{k_{1} - k_{2}}{1 + k_{1} k_{2}} = \sqrt[]{3}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} φ = 60^{\circ} . \end{matrix}

(Pichler Sándor, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Bartók I., Braun I., Enyedi B., Haar A., Kertész G., Liebner A., Neidenbach E., Riesz K.