Kezdőlap


Feladat:	1019. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ádámffy E. , Antal Márkus , Bartók I. , Braun I. , Dömény E. , Dömény I. , Enyedi B. , Haar A. , Kürti I. , Liebner A. , Neidenbach E. , Pichler S. , Riesz K. , Rosenberg J. , Szombathy J. , Szűcs A.
Füzet:	1903/december, 76 - 79. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték differenciálszámítással, Egyenlőtlenségek, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/február: 1019. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatot először egészen általánosan fogjuk megoldani. Legyenek tehát az adott egyenletek:

\begin{matrix} A x + B y + C = 0 \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} - a^{2} b^{2} = 0 \end{matrix}

(2)

A feladatunkat kielégítő pont koordinátái legyenek

x_{0}

és

y_{0}

, akkor ennek távolsága az

(1)

egyenestől

d

, föltéve, hogy

C

nem pozitív:

\begin{matrix} d = \frac{A x_{0} + B y_{0} + C}{\sqrt[]{A^{2} + B^{2}}} . \end{matrix}

(3)

Mikor éri el

d

eminens értékét? Ugyanakkor, midőn az

\begin{matrix} F = d \sqrt[]{A^{2} + B^{2}} - C = A x_{0} + B y_{0} \end{matrix}

(4)

függvény.
Mivel az

x_{0}, y_{0}

pont a

(2)

ellipsisen fekszik, azért a feladat a következő:
Az

x_{0}, y_{0}

-nak mely értéke mellett éri el az

\begin{matrix} F = A x_{0} + B y_{0} \end{matrix}

(4)

függvény eminens értékét, feltéve, hogy:

\begin{matrix} b^{2} x_{0}^{2} + a^{2} y_{0}^{2} - a^{2} b^{2} = 0. \end{matrix}

(5)

Már most

(5)

-ből:

\begin{matrix} y_{0} = \pm \frac{b}{a} \sqrt[]{a^{2} - x_{0}^{2}}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} F = A x_{0} \pm \frac{b B}{a} \sqrt[]{a^{2} - x_{0}^{2}} = a x_{0} + β \sqrt[]{γ - x^{2}}, \end{matrix}

honnan:

\begin{matrix} F^{2} = a^{2} x_{0}^{2} \pm 2 α β x_{0} \sqrt[]{γ - x_{0}^{2}} - β^{2} x^{2} + β^{2} γ . \end{matrix}

Adjuk ezen egyenlethez a következő egyenlőséget:

\begin{matrix} {[β x_{0} \mp α \sqrt[]{- x_{0}^{2} + γ}]}^{2} = β^{2} x^{2} \mp 2 α β x_{0} \sqrt[]{γ - x^{2}} - α^{2} x^{2} + α^{2} γ, \end{matrix}

akkor:

\begin{matrix} F^{2} + {[β x_{0} \mp α \sqrt[]{γ - x_{0}^{2}}]}^{2} = γ (α^{2} + β^{2}), \end{matrix}

miből

\begin{matrix} F = \pm \sqrt[]{γ (α^{2} + β^{2}) - {[β x_{0} \mp α \sqrt[]{γ - x_{0}^{2}}]}^{2}} . \end{matrix}

F

tehát akkor éri el eminens értékét, ha

\begin{matrix} β x_{0} \mp α \sqrt[]{γ - x_{0}^{2}} = 0, \end{matrix}

vagyis midőn:

\begin{matrix} x_{0} = \frac{\pm α \sqrt[]{γ}}{\sqrt[]{α^{2} + β^{2}}} = \frac{\pm A a^{2}}{\sqrt[]{a^{2} A^{2} + b^{2} B^{2}}} . (α) \end{matrix}

A hozzátartozó

y_{0}

értékek az

(5)

-ből adódnak ki, ha oda

x_{0}

értékét betesszük:

\begin{matrix} y_{0} = \pm \frac{B b^{2}}{\sqrt[]{a^{2} A^{2} + b^{2} B^{2}}} . (β) \end{matrix}

Tehát két olyan pontunk van, melyre nézve

d

eminens értékű, úgy mint

\begin{matrix} P_{1} {x'_{0} = A a^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[]{a^{2} A^{2} + b^{2} B^{2}}}; \end{matrix}

\begin{matrix} P_{2} {x''_{0} = - A a^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[]{a^{2} A^{2} + b^{2} B^{2}}}; \end{matrix}

A mi esetünkben

\begin{matrix} a = 3, b = 2, A = - 1, B = 2, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} P_{1} = {- \frac{9}{5}; \frac{8}{5}} és P_{2} = {\frac{9}{5}; - \frac{8}{5}} . \end{matrix}

Ha az adott egyenes távolsága

P_{1}

-től

d_{1}

és

P_{2}

-től

d_{2}

, akkor

(3)

-ból:

\begin{matrix} d_{1} = \frac{(a^{2} A^{2} + b^{2} B^{2}) + C \sqrt[]{a^{2} A^{2} + b^{2} B^{2}}}{\sqrt[]{a^{2} A^{2} + b^{2} B^{2}} \cdot \sqrt[]{A^{2} + B^{2}}} = \sqrt[]{\frac{a^{2} A^{2} + b^{2} B^{2}}{A^{2} + B^{2}}} + C \frac{1}{\sqrt[]{A^{2} + B^{2}}} \end{matrix}

és

\begin{matrix} d_{2} = - \sqrt[]{\frac{a^{2} A^{2} + b^{2} B^{2}}{A^{2} + B^{2}}} + C \frac{1}{\sqrt[]{A^{2} + B^{2}}} . \end{matrix}

Már most a gyökjelek alatt csakis pozitív számok állanak, tehát

\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{a^{2} A^{2} + b^{2} B^{2}}{A^{2} + B^{2}}} + = m > 0 \end{matrix}

és

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[]{A^{2} + B^{2}}} = n > 0. \end{matrix}

C

föltételünk szerint negatív szám volt, tehát:

\begin{matrix} - C = c > 0 \end{matrix}

és így

\begin{matrix} d_{1} = m - c n \end{matrix}

\begin{matrix} d_{2} = - (m + c n), \end{matrix}

tehát a

d_{2}

abszolut értéke nagyobb a

d_{1}

abszolut értékénél, vagyis az

(x'_{0}, y'_{0})

ponthoz minimum, míg az

(x''_{0}, y''_{0})

ponthoz maximum tartozik.
Ha még az

(α)

és

(β)

alatti értékét az

x_{0}

és

y_{0}

-nak megnézzük, észrevesszük, hogy azokban a

C

nem fordul elő, vagyis a

P_{1}

és

P_{2}

pontok helyzete

C

-től független, ellenben

\frac{B}{A}

-tól függ, mert:

\begin{matrix} x_{0} = \frac{\pm a^{2}}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2} {(\frac{B}{A})}^{2}}} és y_{0} = \frac{\pm b^{2}}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2} {(\frac{B}{A})}^{2}}} . \end{matrix}

És mivel

- \frac{B}{A}

az adott egyenes iránytényezője, világos, hogy az adott egyenessel párhuzamos minden egyeneshez egyazon

P_{1}

és

P_{2}

pontok tartoznak. Húzzunk most pl.

P_{1}

-en át párhuzamosat az adott egyenessel, mely az ellipsist még egy

P'_{1}

pontban metszi, ekkor

P'_{1}

távolsága az

(1)

egyenestől szintén

d_{1}

lenne, miből az következnék, hogy két olyan pontunk van az ellipsisen, melynek távolsága

(1)

-től minimális, a mi eredményeinkkel ellenkeznék; kell tehát, hogy

P'_{1}

összeessék

P_{1}

-gyel, vagyis

P_{1}

illetőleg a

P_{2}

pontokban az adott egyenessel vont párhuzamosak érintői az ellipsisnek, a mi különben közvetlen úton is kimutatható. Pl. a

P_{1}

-ben vont érintő egyenlete ugyanis:

\begin{matrix} \frac{x x'_{0}}{a^{2}} + \frac{y y'_{0}}{b^{2}} = 1, \end{matrix}

a honnan

x'_{0}, y'_{0}

értékeinek behelyettesítése után:

\begin{matrix} A x + B y = \sqrt[]{a^{2} A^{2} + b^{2} B^{2}}, \end{matrix}

tehát ezen érintő iránytényezője is:

- \frac{B}{A}

(Antal Márkus.)

Megoldást küldtek be: Ádámffy E., Bartók I., Braun I., Dömény E., Dömény I., Enyedi B., Haar A., Kürti I., Liebner A., Neidenbach E., Pichler S., Rosenberg J., Riesz K., Szombathy J., Szűcs A.