Kezdőlap


Feladat:	1018. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartók I. , Braun I. , Dömény E. , Dömény I. , Enyedi B. , Haar A. , Harsányi Zoltán , Kiss J. , Kürti I. , Liebner A. , Pichler S. , Pivnyik I. , Rássy P. , Riesz K. , Riesz M. , Rosenberg J. , Szombathy J. , Szűcs A.
Füzet:	1902/december, 111 - 112. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Köréírt alakzatok, Ellipszis, mint kúpszelet, Konvex négyszögek, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/február: 1018. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az ellipsis fokusai $F_{1}$ és $F_{2}$ és az ezen pontokban a nagy tengelyre állított merőlegesek az ellipsist a $C_{1}, D_{1}$ , illetőleg a $C_{2}, D_{2}$ pontokban metszik, akkor $C_{1} D_{1} = C_{2} D_{2} = 2 p$ darabot nevezzük parameternek. A parameterek végpontjai tehát $C_{1}, C_{2}, D_{1}, D_{2}$ . Tegyük fel, hogy a $C_{1}, C_{2}, D_{1}, D_{2}$ pontokban rajzolt érintők egymást a $P, Q, R, S$ pontokban metszik, akkor, mivel az ellipsisnek középponti egyenlete van adva; az ellipsis pontjai és érintői symmetrikus helyzetűek a tengelyekre nézve, vagyis $P$ és $R$ az ordináta tengelyre, $Q$ és $S$ az abscissa tengelyre esnek és ha $O$ a coordináták középpontja:

\begin{matrix} P O Q Δ ≅ Q O R Δ ≅ R O S Δ ≅ S O P Δ, \end{matrix}

s így:

\begin{matrix} P Q R S = 4 \cdot P O Q = 4 \cdot \frac{P O \cdot Q O}{2} = 2 \cdot P O \cdot Q O . \end{matrix}

Fel kell tehát állítani a

C_{1}

pontban vonható érintő egyenletét. A

C_{1}

abscissája:

\begin{matrix} ξ = c = \sqrt[]{a^{2} - b^{2}} = excentricitás \end{matrix}

és ordinátája; ha az ellipsis egyenlete

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}} + \frac{η^{2}}{b^{2}} = 1 \end{matrix}

egyenletből adódik ki. Megjegyezzük, hogy mind

ξ

-t, mind pedig

η

-t positívnak vesszük, mert

C_{1}

az első negyedben van, tehát:

\begin{matrix} η = \frac{b^{2}}{a} . \end{matrix}

Mivel a

C_{1}

-ben vonható érintő egyenlete:

\begin{matrix} \frac{x ξ}{a^{2}} + \frac{y η}{b^{2}} = 1, \end{matrix}

tehát és

ξ

és

η

értékeit betéve:

\begin{matrix} \frac{x \sqrt[]{a^{2} - b^{2}}}{a^{2}} + \frac{y}{a} = 1, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} \frac{x}{\frac{a^{2}}{\sqrt[]{a^{2} - b^{2}}}} + \frac{y}{a} = 1 \end{matrix}

és így

\begin{matrix} P O = \frac{a^{2}}{\sqrt[]{a^{2} - b^{2}}} \end{matrix}

\begin{matrix} Q O = a, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} P Q R S = \frac{2 a^{3}}{\sqrt[]{a^{2} - b^{2}}} . \end{matrix}

A mi esetünkben

\begin{matrix} a = 5, b = 3, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} P Q R S = 62,5 \end{matrix}

területegység.

(Harsányi Zoltán, Eger.)

A feladatot még megoldották: Bartók I., Braun J., Dömény E., Dömény I., Enyedi B, Haar A., Kiss J., Kürti I., Liebner A., Pivnyik I., Pichler S., Riesz K., Rássy P., Rosenberg J., Riesz M., Szombathy J., Szücs A.