Kezdőlap


Feladat:	1017. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádámffy E. , Bartók I. , Dömény E. , Dömény I. , Enyedi B. , Haar A. , Kürti I. , Liebner A. , Neidenbach E. , Pám M. , Pivnyik I. , Rássy P. , Riesz K. , Riesz Marcell , Rosenberg J. , Schwemmer I. , Szűcs A.
Füzet:	1903/március, 198 - 199. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesek egyenlete, Ellipszis egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/február: 1017. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \end{matrix}

(1)

ellipsist a

ξ, η

pontban érintő egyenes egyenlete:

\begin{matrix} \frac{x ξ}{a^{2}} + \frac{y η}{b^{2}} = 1. \end{matrix}

(2)

Ez az érintő messe az

X

, illetőleg az

Y

tengelyt az

M

és

N

pontokban, melyek a kezdőponttól

m

, illetőleg

n

távolban vannak, akkor

(2)

-ből:

\begin{matrix} \frac{m ξ}{a^{2}} = 1 \end{matrix}

és

\begin{matrix} \frac{n η}{b^{2}} = 1 \end{matrix}

vagy még:

\begin{matrix} \frac{ξ}{a} = \frac{a}{m} \end{matrix}

és

\begin{matrix} \frac{η}{b} = \frac{b}{n} \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \frac{a^{2}}{m^{2}} + \frac{b^{2}}{n^{2}} = \frac{ξ^{2}}{a^{2}} + \frac{η^{2}}{b^{2}} = 1, \end{matrix}

(3)

mert hiszen

ξ, η

pontja az

(1)

ellipsisnek. Ha már most az adott egyenesek egyenletei:

\begin{matrix} A_{1} x + B_{1} y = C_{1} \end{matrix}

(4)

\begin{matrix} A_{2} x + B_{2} y = C_{2} \end{matrix}

(5)

akkor

\begin{matrix} m_{1} = \frac{C_{1}}{A_{1}}; n_{1} = \frac{C_{1}}{B_{1}}; \end{matrix}

és

\begin{matrix} m_{2} = \frac{C_{2}}{A_{2}}; n_{2} = \frac{C_{2}}{B_{2}}, \end{matrix}

tehát fennáll a következő két egyenlet

(3)

alapján:

\begin{matrix} A_{1}^{2} a^{2} + B_{1}^{2} b^{2} = C_{1}^{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} A_{2}^{2} a^{2} + B_{2}^{2} b^{2} = C_{2}^{2} \end{matrix}

a honnan:

\begin{matrix} a^{2} = \frac{C_{1}^{2} B_{2}^{2} - C_{2}^{2} B_{1}^{2}}{A_{1}^{2} B_{2}^{2} - A_{2}^{2} B_{1}^{2}} = \frac{(C_{1} B_{2} + C_{2} B_{1}) (C_{1} B_{2} - C_{2} B_{1})}{(A_{1} B_{2} + A_{2} B_{1}) (A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1})} . \end{matrix}

és

\begin{matrix} b^{2} = \frac{(A_{1} C_{2} + A_{2} C_{1}) (A_{1} C_{2} - A_{2} C_{1})}{(A_{1} B_{2} + A_{2} B_{1}) (A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1})} . \end{matrix}

Annak az ellipsisnek a középponti egyenletét tehát, mely a

(4)

és

(5)

egyeneseket érinti, megkapjuk, ha

a^{2}

és

b^{2}

itt talált értékeit

(1)

-be tesszük, mikor is a következő egyenlethez jutunk:

\begin{matrix} (A_{1} C_{2} + A_{2} C_{1}) (A_{1} C_{2} - A_{2} C_{1}) x^{2} + (C_{1} B_{2} + C_{2} B_{1}) (C_{1} B_{2} - C_{2} B_{1}) y^{2} = \end{matrix}

\begin{matrix} = (A_{1} B_{2} + A_{2} B_{1}) (A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1}) . \end{matrix}

A mi esetünkben:

\begin{matrix} A_{1} = 1; \end{matrix}

tehát a keresett egyenlet:

\begin{matrix} 162 x^{2} + 81 y^{2} = 13122. \end{matrix}

(Riesz Marcell, Győr.)

A feladatot még megoldották: Ádámffy E., Bartók I., Dömény E., Dömény I., Enyedi B., Haar A., Kürti I., Liebner A., Neidenbach E., Pám M., Pivnyik I., Rássy P., Riesz K., Rosenberg J., Schwemmer I., Szücs A.