Kezdőlap


Feladat:	1016. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartók I. , Braun I. , Dömény E. , Dömény I. , Enyedi B. , Jánosy Gy. , Kertész G. , Kürti I. , Liebner A. , Neidenbach E. , Pichler S. , Pivnyik I. , Rássy Paulin , Riesz K. , Riesz M. , Rosenberg I. , Schwarz Gyula , Sonnenfeld I. , Szűcs A.
Füzet:	1902/december, 110 - 111. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani helyek, Apollóniusz-kör, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/február: 1016. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Oldjuk meg a feladatot mindjárt egészen általánosan, midőn az adott $A$ és $B$ pontoktól vett távolságok aránya $m : n$ legyen. Tegyük fel, hogy $M$ olyan pont, mely feladatunkat kielégíti, tehát

\begin{matrix} A M : B M = m : n . \end{matrix}

(1)

Ha az

A M B

szög belső és külső szögfelezője az

A B

-t a

C

és

D

pontokban metszi, akkor, mint ismeretes

\begin{matrix} A C : B C = A M : B M = A D : B D = m : n, \end{matrix}

(2)

tehát a

C

és

D

pontok is megfelelnek feladatunknak. A

C

és

D

előre is megrajzolhatók a

(2)

alatti egyenlet értelmében, tehát

C

és

D

fix pontok, melyeknek helyzete a választott

M

helyzetétől független és mivel

\begin{matrix} C M D ∢ = 90^{\circ}, \end{matrix}

azért világos, hogy az

M

pontok geometriai helye oly kör (az ú. n. Apollonius. féle kör), melynek átmérője

C D

(Schwarz Gyula, Budapest.)

A feladatot így oldották meg: Jánosy Gy., Kertész G., Kürti I., Neidenbach E., Riesz M., Sonnenfeld I.

II. megoldás. Válasszuk abscissa tengelyül az

A B

egyenest, az ordináta tengely pedig menjen át az

A

ponton. Legyen

M

pont a keresett mértani hely valamely pontja és

M'

ennek vetülete az abscissa tengelyre. Ha

A B = c

és

M

pont coordinátái

x

és

y

, akkor

\begin{matrix} {\bar{A M}}^{2} : {\bar{B M}}^{2} = m^{2} : n^{2} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} (x^{2} + y^{2}) : [y^{2} + {(c - x)}^{2}] = m^{2} : n^{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} (m^{2} - n^{2}) x^{2} + (m^{2} - n^{2}) y^{2} - 2 c m^{2} x + c^{2} m^{2} = 0 \end{matrix}

(1)

A kérdéses geometriai hely tehát oly kör, melynek középpontja az abscissa tengelyen van, mert

y

együtthatója

0

. Ha e kör az

A B

-t a

C

és

D

pontokban metszi, akkor ezekre vonatkozólag is természetesen

\begin{matrix} A C : B C = m : n = A D : B D, \end{matrix}

tehát könnyen megszerkeszthetök.

C D

felezéspontja pedig a kör középpontja.

(Rássy Paulin, Eger)

A feladatot így oldották meg: Bartók I., Braun I., Dömény E., Dömény I., Enyedi B., Kürti I., Liebner A., Pivnyik I., Pichler S., Riesz K., Rosenberg I., Szűcs A.