Kezdőlap


Feladat:	1014. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartók I. , Braun I. , Dömény E. , Dömény I. , Enyedi B. , Glück I. , Haar A. , Jánosy Gy. , Kertész G. , Kiss József , Kürti I. , Liebner A. , Messer P. , Neidenbach E. , Pám M. , Pichler S. , Pivnyik I. , Popoviciu M. , Rássy P. , Riesz K. , Rosenberg J. , Schwarz Gy. , Schwemmer I. , Sonnenfeld I. , Szűcs A.
Füzet:	1902/október, 50 - 52. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek geometriája, Körülírt kör, Körérintők, Háromszög területe, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/február: 1014. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Segédtételek. Ha az $A B C$ háromszög körül írt kör sugara $R$ , a beírt kör sugara $r$ és a háromszög szögei $α, β, γ$ , akkor a háromszög területe

\begin{matrix} T = 2 R^{2} sin α \cdot sin β \cdot sin γ \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} T = r^{2} \cdot ctg \frac{α}{2} \cdot ctg \frac{β}{2} \cdot ctg \frac{γ}{2} . \end{matrix}

Bizonyítás. (a) Ha a háromszög oldalainak hossza

a, b, c

, akkor

\begin{matrix} T = \frac{a b c}{4 R} \end{matrix}

és mivel

\begin{matrix} R = \frac{a}{2 sin α} = \frac{b}{2 sin β} = \frac{c}{2 sin γ}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} T = \frac{2 R sin α \cdot 2 R sin β \cdot 2 R sin γ}{4 R} = 2 R^{2} sin α \cdot sin β \cdot sin γ . \end{matrix}

(b) Másrészt

\begin{matrix} T = \frac{r}{2} (a + b + c), \end{matrix}

ámde

\begin{matrix} r = \frac{a}{ctg \frac{β}{2} + ctg \frac{γ}{2}} = \frac{b}{ctg \frac{γ}{2} + ctg \frac{α}{2}} = \frac{c}{ctg \frac{α}{2} + ctg \frac{γ}{2}}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} T = r^{2} (ctg \frac{α}{2} + ctg \frac{β}{2} + ctg \frac{γ}{2}) . \end{matrix}

Azonban

\begin{matrix} ctg \frac{α}{2} + ctg \frac{β}{2} + ctg \frac{γ}{2} = \frac{sin \frac{α + β}{2}}{sin \frac{α}{2} . sin \frac{β}{2}} + \frac{cos \frac{γ}{2}}{sin \frac{γ}{2}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{cos \frac{γ}{2}}{sin \frac{γ}{2}} [\frac{sin \frac{γ}{2} + sin \frac{α}{2} . sin \frac{β}{2}}{sin \frac{α}{2} \cdot sin \frac{β}{2}}] = ctg \frac{γ}{2} \cdot \frac{cos \frac{α + β}{2} + sin \frac{α}{2} \cdot sin \frac{β}{2}}{sin \frac{α}{2} \cdot sin \frac{β}{2}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = ctg \frac{γ}{2} \cdot \frac{cos \frac{α}{2} \cdot cos \frac{β}{2} - sin \frac{α}{2} \cdot sin \frac{β}{2} + sin \frac{α}{2} \cdot sin \frac{β}{2}}{sin \frac{α}{2} \cdot sin \frac{β}{2}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = ctg \frac{α}{2} \cdot ctg \frac{β}{2} \cdot ctg \frac{γ}{2} \end{matrix}

vagyis tényleg

\begin{matrix} T = r^{2} ctg \frac{α}{2} \cdot ctg \frac{β}{2} \cdot ctg \frac{γ}{2} . \end{matrix}

Ezek után áttérhetünk feladatunk megoldására. Legyen az adott

A B C

háromszög köré írt kör középpontja

O

és sugara

r

. Az érintő háromszög csúcspontjait pedig

A_{1}, B_{1}, C_{1}

és szögeit

α_{1}, β_{1}, γ_{1}

-gyel jelöljük és legyen

A B C

háromszög területe

t

, az

A_{1}, B_{1}, C_{1}

háromszögé pedig

T

, akkor

\begin{matrix} T = r^{2} ctg \frac{α_{1}}{2} \cdot ctg \frac{β_{1}}{2} \cdot ctg \frac{γ_{1}}{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} t = 2 r^{2} \cdot sin α \cdot sin β \cdot sin γ . \end{matrix}

Csak az

α_{1}, β_{1}, γ_{1}

szögeket kell kiszámítanunk.

A_{1} B O C

négyszögből (mert

A_{1} B O ∢

és

A_{1} C O

szögek derékszögek):

\begin{matrix} α_{1} + B O C ∢ = α_{1} + 2 α = 180^{\circ}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} α_{1} = 2 (90^{\circ} - α) \end{matrix}

és így

\begin{matrix} T = r^{2} \cdot tg α \cdot tg β \cdot tg γ . \end{matrix}

Már most

\begin{matrix} T : t = r^{2} tg α \cdot tg β \cdot tg γ : 2 r^{2} sin α sin β sin γ = 1 : 2 cos α \cdot cos β \cdot cos γ . \end{matrix}

Jelen esetben

\begin{matrix} T : t = 1 : 0,219865. \end{matrix}

(Kiss József, Pápa.)

A feladatot még megoldották: Bartók I., Braun I., Dömény I., Dömény E., Enyedi B., Glück I., Haar A., Jánosy Gy., Kertész G., Kürti I., Liebner A., Messer P., Neidenbach E., Pám M., Pichler S., Pivnyik I., Popoviciu M., Rássy P., Riesz K., Rosenberg I., Schwarz Gy., Sonnenfeld I., Szűcs A., Schwemmer I.