Kezdőlap


Feladat:	1013. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádámffy E. , Bartók I. , Braun I. , Dömény E. , Dömény I. , Eckhardt F. , Enyedi B. , Fekete M. , Friedländer H. , Glück I. , Haar A. , Hirschfeld Gy. , Jánosy Gy. , Kertész G. , Kürti Imre , Liebner A. , Messer P. , Neidenbach E. , Pám M. , Pazsiczky G. , Pető L. , Pichler S. , Pivnyik I. , Popoviciu M. , Ragány B. , Rássy P. , Riesz K. , Rosenberg J. , Schwarz Gy. , Schwemmer I. , Szűcs A. , Söpkéz Gy.
Füzet:	1903/február, 177 - 178. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/február: 1013. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szerkesztés a következő: $A B = c$ , mint átmérő fölé kört rajzolunk. E kört az $A$ -ból illetve $B$ -ből, mint középpontokból, $m_{a}$ illetve $m_{b}$ sugarakkal rajzolt körök $D, D_{1}$ , illetve $E, E_{1}$ pontokban metszik. Ha $A E$ és $B D$ továbbá $A E_{1}$ és $B D_{1}$ , $A E$ és $B D_{1}$ , $A E_{1}$ és $B D$ egyenesek metszéspontja $C, C', C_{1}$ és $C_{1}'$ , akkor $A B C, A B C', A B C_{1}$ és $A B C_{1}'$ a keresett háromszögek.
Minthogy $A B C ▵ ≅ A B C' ▵$ és $A B C_{1} ▵ ≅ A B C_{1}' ▵$ , azért elegendő az $A B C$ és $A B C_{1}$ háromszöget trigonometriailag megfejtenünk. Ha az $A, B$ és $C$ csúcsnál fekvő szögek $α, β$ és $γ$ , akkor

\begin{matrix} sin α = \frac{m_{b}}{c}, sin β = \frac{m_{a}}{c} \end{matrix}

és

\begin{matrix} sin γ = sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{1}{c^{2}} (m_{b} \sqrt[]{c^{2} - m_{a}^{2}} + m_{a} \sqrt[]{c^{2} - m_{b}^{2}}) . \end{matrix}

Az adott számértékeket behelyettesítve nyerjük, hogy

\begin{matrix} α = 61^{\circ} 55' 33'', β = 22^{\circ} 37' 10'', γ = 95^{\circ} 27' 17'' . \end{matrix}

Továbbá

\begin{matrix} a = \frac{m_{b}}{sin γ} = \frac{m_{b} c^{2}}{m_{b} \sqrt[]{c^{2} - m_{a}^{2}} + m_{a} \sqrt[]{c^{2} - m_{b}^{2}}} = 24,82 \end{matrix}

és

\begin{matrix} b = \frac{m_{a}}{sin γ} = \frac{m_{a} c^{2}}{m_{b} \sqrt[]{c^{2} - m_{a}^{2}} + m_{a} \sqrt[]{c^{2} - m_{b}^{2}}} = 10,818. \end{matrix}

Ha az

A B C_{1}

háromszögben az

A, B

és

C_{1}

csúcsnál fekvő szögek

α_{1}, β_{1}

és

γ_{1}

, akkor

\begin{matrix} a_{1} = 180^{\circ} - α, β_{1} = β s így γ_{1} = 180^{\circ} - (α_{1} + β_{1}) = α - β . \end{matrix}

Ennélfogva

\begin{matrix} α_{1} = 118^{\circ} 04' 27'', β_{1} = 22^{\circ} 37' 10'', és γ_{1} = 39^{\circ} 18' 23'' \end{matrix}

és

\begin{matrix} a_{1} = \frac{m_{b}}{sin γ_{1}} = 39, b_{1} = \frac{m_{a}}{sin γ_{1}} = 17. \end{matrix}

(Kürti Imre, Eger.)

A feladatot még megoldották: Ádámffy E., Bartók I., Braun I., Dömény E., Dömény I., Enyedi B. , Eckhardt F., Fekete M., Friedländer H., Glück I., Haar A., Hirschfeld Gy., Jánosy Gy., Kertész G., Liebner A., Messer P., Neidenbach P., Pám M., Pichler S., Pazsiczky G., Pető L., Pivnyik I., Popoviciu A., Ragány R., Rássy P., Riesz K., Rosenberg J., Schwemmer I.. Schwarz Gy., Söpkéz Gy., Szűcs A.