Kezdőlap


Feladat:	1012. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádámffy E. , Bánó L. , Bartók J. , Dömény E. , Dömény J. , Eckhart F. , Enyedi B. , Fekete M. , Frank K. , Friedländer H. , Füstös P. , Glück J. , Haar A. , Hirschfeld Gy. , Jánosy Gy. , Kertész G. , Kiss J. , Kürti I. , Liebner A. , Neidenbach E. , Pám M. , Pazsiczky G. , Pető L. , Pichler S. , Pivnyik I. , Popoviciu M. , Ragányi B. , Rássy P. , Riesz K. , Riesz Marcel , Rosenberg J. , Schwarz Gy. , Schwemmer J. , Szécsi I. , Székely J. , Szűcs A. , Söpkéz Gy. , Winkler J.
Füzet:	1903/szeptember, 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Koszinusztétel alkalmazása, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Heron-képlet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/február: 1012. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Carnot-tétel értelmében:

\begin{matrix} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α \end{matrix}

másrészt

\begin{matrix} {(b - c)}^{2} = δ^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c, \end{matrix}

tehát:

\begin{matrix} a^{2} - δ^{2} = 2 b c (1 - cos α) = 4 b c sin^{2} \frac{α}{2} \end{matrix}

és innen

\begin{matrix} b c = \frac{a^{2} - δ^{2}}{4 sin^{2} \frac{α}{2}} \end{matrix}

és így a háromszög területe

\begin{matrix} t = \frac{1}{2} b c sin α = \frac{2 (a^{2} - δ^{2}) sin \frac{α}{2} \cdot cos \frac{α}{2}}{8 sin^{2} \frac{α}{2}} = \frac{1}{4} (a + δ) (a - δ) ctg \frac{α}{2} . \end{matrix}

A kerület

(k)

a következőképpen számítható ki:

\begin{matrix} t = \frac{1}{4} \sqrt[]{(a + b + c) (- a + b + c) (a - b + c) (a + b - c)} \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} t^{2} = \frac{1}{16} {(a + δ)}^{2} {(a - δ)}^{2} {ctg}^{2} \frac{α}{2} = \frac{1}{16} \cdot k \cdot (k - 2 a) (a - δ) (a + δ), \end{matrix}

honnan

\begin{matrix} k^{2} - 2 a k = (a + δ) (a - δ) {ctg}^{2} \frac{α}{2} . \end{matrix}

A mi esetünkben:

\begin{matrix} t = 143,01 {dm}^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} k = 57,92 dm . \end{matrix}

(Riesz Marcel, Győr.)

A feladatot még megoldották: Ádámffy E., Bánó L., Bartók J., Dömény E., Dömény J., Eckhart F., Enyedi B., Fekete M., Frank K., Friedländer H., Füstös P., Glück J., Haar A., Hirschfeld Gy., Jánosy Gy., Kertész G., Kiss J., Kürti J., Liebner A., Neidenbach E., Pazsiczky G., Pám M., Pető L., Pichler S., Pivnyik J., Popoviciu M., Ragányi B., Rássy P., Riesz K., Rosenberg J., Schwarz Gy., Schwemmer J., Székely J. , Söpkéz Gy., Szécsi J., Szűcs A., Winkler J.