Kezdőlap


Feladat:	1011. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádámffy E. , Bartók I. , Dömény E. , Dömény Imre , Eckhart F. , Enyedi B. , Glück J. , Haar A. , Heimlich P. , Hirschfeld Gy. , Jánosy Gy. , Kertész G. , Kiss J. , Kürti I. , Liebner A. , Neidenbach E. , Pám M. , Pichler S. , Pivnyik I. , Popoviciu M. , Rássy P. , Riesz K. , Rosenberg J. , Schuster Gy. , Schwarz Gy. , Schwemmer I. , Szűcs A.
Füzet:	1902/október, 49 - 50. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Vektorok skaláris szorzata, Súlyvonal, Háromszögek nevezetes tételei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1902/február: 1011. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az $A B C$ háromszög oldalainak középpontjait rendre $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ -gyel, és a súlyvonalak hosszát $s_{1}, s_{2}, s_{3}$ -mal jelöljük, akkor a Stewart-tételből folyólag (K. M. L. IX. évf. 948. feladat):

\begin{matrix} A B^{2} \cdot A_{1} C + A C^{2} \cdot A_{1} B = A A_{1}^{2} \cdot B C + B C \cdot B A_{1} \cdot A_{1} C . \end{matrix}

Ha az oldalak hosszát rendre

a, b, c

-vel jelöljük és tekintetbe vesszük, hogy

\begin{matrix} A_{1} C = A_{1} B = \frac{B C}{2} = \frac{a}{2}, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} c^{2} \cdot \frac{a}{2} + b^{2} \cdot \frac{a}{2} = s_{1}^{2} \cdot a + a \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2} = & 4 s_{1}^{2} \end{matrix} \end{matrix}

és épp így

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 c^{2} + 2 a^{2} - b^{2} = & 4 s_{2}^{2} \end{matrix} \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2} = & 4 s_{3}^{2} \end{matrix} \end{matrix}

mely egyenletrendszerből kiszámíthatjuk

a^{2}, b^{2}, c^{2}

értékeit és akkor

\begin{matrix} \begin{matrix} a = & \frac{2}{3} \sqrt[]{2 s_{2}^{2} + 2 s_{3}^{2} - s_{1}^{2}} \\ b = & \frac{2}{3} \sqrt[]{2 s_{3}^{2} + 2 s_{1}^{2} - s_{2}^{2}} \\ c = & \frac{2}{3} \sqrt[]{2 s_{1}^{2} + 2 s_{2}^{2} - s_{3}^{2}} . \end{matrix} \end{matrix}

A mi adataink mellett

\begin{matrix} a = 13; \end{matrix}

és mivel

\begin{matrix} cos \frac{α}{2} = \sqrt[]{\frac{s (s - a)}{b c}} = \sqrt[]{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt[]{5}} \end{matrix}

\begin{matrix} cos \frac{β}{2} = \sqrt[]{\frac{s (s - b)}{c a}} = \sqrt[]{\frac{49}{65}} = \frac{7}{\sqrt[]{65}} \end{matrix}

\begin{matrix} cos \frac{γ}{2} = \sqrt[]{\frac{s (s - c)}{a b}} = \sqrt[]{\frac{9}{13}} = \frac{3}{\sqrt[]{13}} \end{matrix}

azért

\begin{matrix} α = 53^{\circ} 7' 50'' \end{matrix}

\begin{matrix} β = 59^{\circ} 29' 26'' \end{matrix}

\begin{matrix} γ = 67^{\circ} 22' 44'' . \end{matrix}

(Dömény Imre, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Ádámffy E., Bartók I., Dömény E., Eckhart F., Enyedi B., Glück J., Haar A., Heimlich P., Hirschfeld Gy., Jánosy Gy., Kertész G., Kiss J., Kürti I., Liehner A., Neidenbach E., Pám M., Pichler S., Pivnyik I., Popoviciu M., Rássy P., Riesz K., Rosenberg J., Schwarz Gy., Schuster Gy., Schwemmer I., Szücs A.